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第三节 全等三角形;考点 全等三角形的判定与性质
例1(2018·江西22题改编)如图,在菱形
ABCD中,∠ABC=60°,点P是线段BD上一
点,以AP为边向右侧作等边△APE,连接CE.
(1)求证:BP=CE;
(2)判断CE与AD的位置关系,并说明理由.;【分析】
(1)要证明CE=BP,观察图形可知在等边△APE中,∠PAE=60°,AP=AE,从而考虑∠PAB=∠EAC,AB=AC来证△ABP ≌△ACE,故需连接AC,由菱形性质得到AC=AB即可;
(2)要判断CE与AD的位置关系,则需判断△ACD的形状,再由CE与∠ACD的关系得出结论.;【自主解答】(1)证明:如解图,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵△PAE是等边三角形,
∴PA=AE,∠PAE=60°,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE,∴BP=CE.;(2)解:CE垂直平分AD.
理由:∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,
∵∠ABC=60°,∴∠ABD=30°.
∵△ABP≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD=30°.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD=AB,
∵AC=AB,∴AC=AD=CD,∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,∴∠DCE=30°,∴CE平分∠ACD,
∵△ACD是等边三角形,∴CE垂直平分AD.;证明两三角形全等的常见模型;豺豺栽梳号灌嫂聘附蓉乘箍沈硷罐矫兵忱玻掏疲噶巢钱瞒阶徒第涉工诡临17第四章 第三节17第四章 第三节;瘪赦椎繁黔饱辊顾槐究艰涉衔炭相哄琴欢启捣童字邯惧年违卢患刽匝尿亏17第四章 第三节17第四章 第三节;1.(2017·江西23题改编)如图,将
△ABC的边AB绕点A顺时针旋转α得到
线段AB′,将边AC绕点A逆时针旋转
β得到线段AC′,连接B′C′,点D
是B′C′的中点,连接AD.已知α+
β=180°.求证:BC=2AD. ;证明:如解图,延长AD至O使AD=DO,
在△B′DO和△C′DA中,
∴△B′DO≌△C′DA(SAS).
∴B′O=AC′=AC,∠OB′D=∠AC′D,
∴B′O∥AC′,
∴∠OB′A+∠B′AC′=180°.;∵∠BAB′+∠CAC′=180°,
∴∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠BAC=∠OB′A,
在△BAC与△AB′O中,
∴△BAC≌△AB′O(SAS),∴BC=AO.
∵AD=DO,∴BC=2AD.;2.(2016·江西22题改编)如图,将正五边形
ABCDE绕点A顺时针旋转60°后,得到正五边
形AB′C′D′E′,BC交D′E′于点O.连接OA,
将线段OA绕点A逆时针??转60°交ED于点P.
求证:△AEP≌△AE′O.;证明:∵正五边形AB′C′D′E′是由正五边形ABCDE绕点A旋转60°得到的,
∴AE=AE′,∠E=∠E′,∠EAE′=60°.
∵AP是由AO绕点A逆时针旋转60°得到的,
∴∠PAO=60°.
∴∠EAP+∠PAE′=∠PAE′+∠E′AO,
∴∠EAP=∠E′AO,;在△AEP和△AE′O中,
∴△AEP≌△AE′O(ASA).
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