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绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷共5页,150分,考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合,则
A.
B.
C.
D.
正确答案
D
2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则
A.
B.
C.
D.
正确答案
B
3.在的展开式中,的系数为
A.-5
B.5
C.-10
D.10
正确答案
C
4.某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为
A.
B.
C.
D.
正确答案
D
5.已知半径为1的圆经过点,则其圆心到原点的距离的最小值为
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
6.已知函数,则不等式的解集是
(A)
(B)
(C)
(D)
正确答案
D
7.设抛物线的顶点为,焦点为,准线为,是抛物线上异于的一点,过作于,则线段的垂直平分线
(A) 经过点
(B) 经过点
(C) 平行于直线
(D) 垂直于直线
正确答案
B
8.在等差数列中,=-9,=-1,记,则数列
(A)有最大项,有最小项
(B)有最大项,无最小项
(C)无最大项,有最小项
(D)无最大项,无最小项
正确答案
B
9.已知,则“存在使得”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
正确答案
C
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数充分大时,计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值,按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是
(A)
(B)
(C)
(D)
正确答案
A
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.函数的定义域是_________.
正确答案
{x|x>0}
12.已知双曲线,则的右焦点的坐标为_________: 的焦点到其渐近线的距离是_________.
正确答案
(3,0),
13.已知正方形的边长为2,点满足,则=_________;=_________.
正确答案
,-1
14.若函数的最大值为2,则常数的一个取值为_________.
正确答案
15.为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量与时间的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
甲企业在,,这三段时间中,在的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.
正确答案
①②③
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
综合题分割
16.(本小题13分)
如图,在正方体中,为的中点,
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值。
正确答案
综合题分割
17.(本小题13分)
在中,, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求:
(I) a的值;
(II) 和的面积.
条件①: , ;
条件②: ,。
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分。
正确答案
综合题分割
18.(本小题14分)
某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,
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