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《抛物线及其标准方程》教案(第一课时)
一、教学目标
1、知识目标
① 让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。
② 让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。
2、能力培养目标
① 培养建立适当坐标系的能力。
② 培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。
3、德育培养目标
① 培养学生的探索精神
② 渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
二、教学重点和难点
1、教学重点:
①.抛物线的标准方程。
②.标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。
2、教学难点:
①.应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。
②.培养学生选择适当坐标系的能力。
三、教学方法
在具体问题的分析、引导过程中,依据建构主义教学原理(学生的认知过程是一个同化与顺应的过程),通过类比、对比、和归纳,把新的知识化归到学生原有的认知结构中去(如二次函数与抛物线方程的对比,从移图到适当建立坐标系方法的归纳等)。
D′
D′
A
B
C
D′
抛物线是学生非常熟悉的一种曲线,但对它是满足什么条件的动点的轨迹却很陌生.为此,可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题,再通过“拉线教具”(课件)的演示引入抛物线的定义,这样可以使学生一开始就看到椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的联系与区别.接着按求曲线方程的步骤推导焦点在x轴正方向上的抛物线的标准方程.再改变坐标系的建立方式,给出另外三种类型的标准方程.通过形数结合的对比,让学生把握抛物线的四类标准方程的图形、焦点和准线的位置,识别它们之间的差异.在解有关抛物线的问题时,要求学生能迅速写出焦点坐标和准线方程,在练习中反复领会“依形判数”“就数论形”的方法,达到熟练运用标准方程的技能技巧.
教学过程:
一、引入
在讲抛物线的概念时,由椭圆、双曲线的第二定义(统一定义)引入,提出:与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线,那么当e=1时,又是什么曲线呢?接着,用“拉线教具”(课件)演示.如图,在平板上把三角板较短的直角边BC紧靠在固定的直尺边缘DD′上,取一条与另一直角边AC等长的细线,一端固定在三角板的顶点A上,另一端固定在平板F处,然后用铅笔紧靠三角板的AC的边缘,把细线轻轻拉紧,并将三角板紧靠直尺沿DD′移动,笔尖M画出的图形便是抛物线,在此基础上可引入抛物线的定义.
二、新授内容:
1.在“拉线画抛物线”的基础上,提出抛物线的定义,然后推导抛物线的标准方程.
(1)在推导标准方程之前,首先让学生考虑怎样建立坐标系?由定义可知直线KF是曲线的对称轴,所以把KF作为x轴可以使方程不会出现y的一次项,因线段KF的中点适合条件,即它在抛物线上,所以以KF的中点为原点,方程中就不会出现常数项,这样建立坐标系,得出的方程比较简单.
(2)设焦点到准线的距离|KF|=p(p>0),这是抛物线方程中参数p的几何意义.因为抛物线的顶点是KF的中点,所以知道了p,焦点F(,0),准线都可以确定了.由于抛物线的标准方程中只有一个参数p,所以只需一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.
(3)由于p是抛物线的焦点到准线的距离,所以p永远大于零.这点必须向学生强调.以防止以后设错标准形式,而出现p为负值的错误.
2.如果选取坐标系使得抛物线的顶点在原点,对称轴和一条坐标轴重合,那么随着焦点在x轴或y轴的正半轴或负半轴的不同情况(课件演示),引导学生得到四种不同的抛物线的标准方程:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).由y2=2px的焦点坐标、准线方程和图形,用类比的方法得到y2=-2px,x2=2py,x2=-2py的焦点坐标、准线方程和图形:
图形
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
焦点
坐标
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
准线
方程
x=
x=
y=
y=
(1)教学中要通过例题阐明:y2=2px的焦点坐标F(,0),准线方程中,是2p的(其它三种标准形式也是这样),如:y2=6x中,2p=6,.所以焦点坐标是F(,0),准线方程是.
(2)标准方程有四种形式,要防止如下错误:求过点A(-2,6)的抛物线的标准方程时,设抛物线标准方程为y2=2px,把x=-2,y=6代入得p=-9,所以,抛物线的标准方程为y2=-18x,结果错了,原因是标准方程的设定不全面,正确的思路是根据条件画出示意图,从而确定所求抛物线方程分别为x2=2py(p>0)或y2=-2px
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