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《反证法》教案
阳信一中 屠志敏
教学目标
1.知识目标
使学生清楚什么问题用反证法和反证法的操作步骤,会用反证法证明数学问题。了解反证法的思考过程、特点。
2.能力目标
使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程,培养学生归纳、总结、推理论证的能力。增强学生的数学应用意识和创新意识。
3.情感目标
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识;通过让学生体验成功,培养学生学习数学的自信心。通过科学家的故事,培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力。
教学重点、难点:反证法中,利用“逆向思维”,从假设出发,通过正确的推理得出矛盾,即第二步“归谬”。
教学过程
创设情境,引入新课
小故事:路边苦李
古时候有个人叫王戎,7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩,看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了,小伙伴们都跑去摘,只有王戎站着没动。他说:“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝,李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“假设李子是甜的,树长在路边,李子早就没了!李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的,不好吃!”
再看一个数学问题:证明:一个三角形中不能有两个角是直角。
问题1:上述两个例子是怎样证明结论正确的?其证明的步骤是什么?引入课题。
二、意义建构,形成概念
假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。(学生陈述,老师整理形成概念)
反证法的基本步骤:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;(反设)
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(归谬)
(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。(结论)
通过以上过程规范强化反证法的步骤。
三、数学运用,巩固知识
例1、(引例2的变式)求证:三角形中至少一个角大于等于600。
实验:桌面上有三枚正面朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,观察反面朝上的硬币数如何变化?
思考1:若双手各翻转一次,反面朝上的硬币数为多少?(2枚)
思考2:若双手各翻转两次,反面朝上的硬币数为多少?(0枚或2枚)
思考3:双手翻转n次,你有什么发现?
无论怎么翻转,都不能使只有1枚硬币反面朝上或3枚硬币全部反面朝上。如何证明“无论怎么翻转,都不能使3枚硬币全部反面朝上”这个问题?
四、探究拓展,培养能力
问题2:反证法的关键步骤是哪步?
反证法的核心是在假设的前提下,通过正确的推理得出矛盾。这是学生操作反证法的难点,也是这节课的难点。因为反证法的应用需要逆向思维,而这一点平时很少训练。所以以下几个例题要给学生充分的思考时间。
反证法可以解决一些用直接证法不能解决的问题,比如说必修2中平面与平面平行的判定定理就需要用反证法来证明。现在我们来证明一下。
例2、∥,∥求证:∥
P
P
问题3:从以上几个反证法的例子可以看出,归谬的矛盾都有什么?
归缪矛盾:
(1)与已知条件矛盾;(如例2)
(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (如引例2及例1)
(3)自相矛盾。(如引例1)
我们在感受反证法的方便、快捷的同时,不能忘记利用反证法作出突出贡献的科学家。让我们一起认识矢志不渝的俄国科学家罗巴切夫斯基。
欧几里得的《几何原本》,爱因斯坦把它叫做“宏伟的大厦”。
但其中的第五公设不象其他公设、公理那样显而易见,很多数学家都试图证明它,但都没有成功。罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路,试图给出第五公设的证明。可是,很快他便意识到自己的证明是错误的。
前人和自己的失败从反面启迪了他,使他大胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明。于是,他便调转思路,到了十九世纪二十年代,他走了另一条路子。“他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。我们知道,这其实就是数学中的反证法。”但是,经过仔细审查,却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。于是,远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言,这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何————罗氏几何。然而,这一重大成果刚一公诸于世,就遭到正统数学家的冷漠和反对。罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域,但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。在身患重病,卧床不起的困境下,他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著《论几何学》,就是在他双目失明,临去世的前一年,口授他的学生完成的。
通过以上故事,同学们有什么感触?
在科学探索的征途上,一个人经得住一时的挫折和打击并不难,难的是勇于长期甚至终生在
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