2020年初升高【数学】无忧衔接： 一元二次方程（解析版）名师课堂.docVIP

『初升高』·无忧衔接 精品资源·备学高中 『初中升高中· 无忧衔接』『内容递进 『初中升高中· 无忧衔接』 『内容递进·循序渐进』  专题03一元二次方程 本专题在初中、高中扮演的角色 1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础. 2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 高中必备知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ．① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 典型考题 【典型例题】 关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-1=0，其根的判别式为16，求 【答案】m1 【解析】 由题意得， △=[-(m-1)] 整理得，m2 解得：m1 【变式训练】 已知关于x的一元二次方程m (1)若方程的一个根为3，求m的值及另一个根； (2)若该方程根的判别式的值等于1，求m的值． 【答案】(1)m=23；即原方程的另一根是 【解析】 （1）设方程的另一根是x2． ∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3， ∴x=3是原方程的解， ∴9m﹣（m+2）×3+2=0， 解得m=； 又由韦达定理，得3×x2=， ∴x2=1，即原方程的另一根是1； （2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1 ∴m=1，m=3． 【能力提升】 方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ． 【答案】105 【解析】 先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可． 方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0， 故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105． 高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 典型考题 【典型例题】 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析； （2）当方程根为1，2时， b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8． 【解析】 （1）该方程是倍根方程，理由如下： x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4， ∴x2＝2x1， ∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程； （2）∵方程x2+bx+c＝0是倍