2020年新版综合题之线段和差最值问题.docxVIP

中考数学压轴题解题策略 线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题， 常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称 轴“河流”（如图1）. 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图2）. 两条线段差的最大值问题， 一般根据三角形的两边之差小于第三边， 当三点共线时，两 条线段差的最大值就是第三边的长.如图 3, PA与PB的差的最大值就是 AB,此时点P在 AB的延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题. 图3 图3 P的坐标.【解析】如图 P的坐标. 【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流，点 例题解析 例1、如图1-1,抛物线y= x2— 2x— 3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点P A与点B对称，连结BC,那么在 P落在BC上时，PB+ PC最小，因△ PBC中，PB P落在BC上时，PB+ PC最小，因 此FA + PC最小，△ PAC的周长也最小. 由 y = x2 OD = 1.所以 DB = DP = 2,因此 P(1, — 2). 例2、如图，抛物线y 1x2 4x 4与y轴交于点a, B是OA的中点.一个动点 G从 2 点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点 N，然后返回到点 A .如果动 点G走过的路程最短，请找出点 M、N的位置，并求最短路程. J A B 岸 L 0 N 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点 A关于抛物线的对称轴对称的 点A'，作点B关于x轴对称的点B 连结A'B与x轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点 N . AA = 8, AB = AA = 8, AB = 6，所以A 'B = 10,即点G走过的最短路程为10.根据 OM = 8 3 相似比可以计算得到MH = 4 , NH = 1?所以 M(8,0), N(4, 1). 相似比可以计算得到 3 3 例3、如图3-1 ,抛物线的一个动点，求线段 出相应的点P的坐标. 例3、如图3-1 , 抛物线 的一个动点，求线段 出相应的点P的坐标. PA 与 PB 4 2 x 9 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求 8x 2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上 3 L 6 0 0' I \) V 图2-2 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求 |FA — PB |的最小值与最大值. 由抛物线的解析式可以得到 A(0, 2), B(3, 6).设P(x, 0). 绝对值|PA — PB|的最小值当然是 0 了，此时PA = PB,点P在AB的垂直平分线上(如 图 3-2).解方程 x2+ 22= (x— 3)2+ 62，得 x 41 .此时 P (41 0). 6 6 在厶PAB中，根据两边之差小于第三边，那么 |PA— PB|总是小于AB 了 .如图3-3，当 点P在BA的延长线上时，|PA— PB|取得最大值，最大值PK + QK的最小值. 点P在BA的延长线上时，|PA— PB|取得最大值，最大值 PK + QK的最小值. 例4、 / A = 120°点P、Q、K分别为线段 BC、 CD、BD上的任意一点，求 【解析】如图4-2,点 于PQ 的 .如图4-3，当点 Q关于直线BD的对称点为 0',在厶KPQ 中, PK + QK总是 大 K落在PQ上时，PK + QK的最小值为 PQ '.如图4-4, PQ的最 小值为Q H , Q H就是菱形 ABCD 的高，QH = 3 . 这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短. 0图4-3图4-4 0 图4-3 图4-4 例五、如图，/ AOB= 45 点，求 例五、如图，/ AOB= 45 点，求△ PQR周长的最小值. ,P是/ AOB内一定点， （要求画出示意图，写出解题过程 P0= 10, Q, ) R分别是OA 0B上的动 【解析】例3.解：分别作点P关于0A , OB的对称点M, N，连接0M , ON , MN , MN交OA , OB于点Q , R，连接PR, PQ,此时APQR周长的最小值等于 MN.由轴对称性 质可得，OM = ON = OP= 10,/ MOA =Z POA，/ NOB =Z POB,「./ MON = 2/ AOB = 2 >45 ° = 90°，在 RtA MON 中，MN = .'OM2+ ON2= 10.：2，即 APQR 周长的最小值等于 10 ；2。 例 6、如图 6-1 ,已知 A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a + 2, 0),求 a 为何 值时，四边形