常见函数地泰勒级数展开.docxVIP

精彩文档 精彩文档 实用标准文案 泰勒级数的定义： 若函数f (X)在点％的某一临域内具有直到(n+1 )阶导数，则在该邻域内 f (x)的 n阶泰勒公式为： /(X)= /v0)(x r °)+ 马学(心尸 + …+￡!徑 a f 讥(舟 21 刈 其中:称为拉格朗日余项。 其中: 以上函数展开式称为泰勒级数。 泰勒级数在幕级数展开中的作用： 在泰勒公式中，取■，得: 这个级数称为麦克劳林级数。函数 f ( X)的麦克劳林级数是 X的幕级数，那么这种展 开是唯一的，且必然与 f ( X)的麦克劳林级数一致。 注意：如果f (X)的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于 f (X )。因此，如果f ( X )在? 。处有各阶导数，则f ( X)的麦克劳林级数虽然能做出来， 但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 f ( X)都需要进一步验证。 几个重要的泰勒级数。参数 X为复数时它们依然成立。 实用标准文案 ? 指数函数和自然对数 ln([ +?)=力 n=l ?? Vj -1 ? 几何级数： ? 二项式定理 8 (1 + r尸二工g n)xn Vt : |x| l,Va € C n=0 ? 三角函数： eos. = ￡ 沖 7T血：|斜 7T 血：|斜 二 sec 3；= (2n)l n=L arcsm x —y ⑵“！ 的+i 一召炉何円2備+ 1) arctan x 8 =E 71 =盯 (_1尸 2?? + 1 Va?: |盘| 1 实用标准文案 arctan x =帀护 _ ￡ y- (一 1 arctan x = 2 _「十召(2k+l)x^ 00 1产亠1程 00 1 产亠1程 QCsinhx 二 We 八. 台(2n+ 1)! QC coshx — V / 1电产也 幺(2^)1 + 芒％4灯一1)＜迪乍一TL — + 芒％4灯一1) ＜迪乍一 TL — 1 x2n~r Var: |韵 善 ■ °° (-1尸(2町！护卄i 应航_￡ 4咻!讯刼+ 1) OO tanli-1^ 二力 ? 朗伯W函数: n!°° (_泥秤_1 叫)=E ― 曰 n! ■TL = 1