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二次根式详解
【知识回顾】
1. 二次根式: 式子 a (a ≥0 )叫做二次根式。
2. 最简二次根式: 必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ; ⑵被开方数中 不含分母 ; ⑶分母中 不含
根式 。
3. 同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质:
a a
( >0 )
2 2
(1)( a ) = a (a ≥0 ); (2) a a 0 (a =0);
a a
( <0 )
5. 二次根式的运算:
(1 )因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的
算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式, ?变形为积的形
式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2 )二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3 )二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)
仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
b b
ab = a ·b (a ≥0,b≥0); (b≥0,a>0 ).
a a
(4 )有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律, ?乘法对加法的分配律以及
多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
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【典型例题】
1、概念与性质
1 2 1 2 2
例 1 下列各式 1 ) ,2) 5,3) x 2, 4) 4,5) ( ) ,6) 1 a ,7) a 2 a 1 ,
5 3
其中是二次根式的是 _________(填序号).
例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围
1
x 5 2
(1) 3 x ;(2 ) (x - 2)
2 2 x 2
例 3 、 在根式 1) a b ;2) ;3) x xy ;4) 27abc ,最简二次根式是( )
5
A. 1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)
1 x y x y
y 1 8x 8x 1 , 求代数式 2 2的值。
例 4 、已知: 2 y x y x
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