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第?7?课时 组合应用举例
1.进一步巩固组合、组合数的概念.
2.学会判断组合问题及常见组合问题的几种解法.
3.培养学生转化化归的数学思想.
某校开展冬季校运会招募了?20?名志愿者,他们的编号分别是?1?号、2?号、…、19?号、20?号.若要从中
任意选取?4?人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大
的在另一组.那么确保?5?号与?14?号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种?
问题?1:在上述情境中,要“确保?5?号与?14?号入选并分配到同一组”,则另外两人的编号都小于?5
或 ,于是根据分类加法计数原理,5?号与?14?号入选并被分配到同一组的选取方法种数为
种.
问题?2:排列与组合的联系
组合可看成排列的 .对于较复杂的排列问题,常用“先取元素,再排位置”,即
“ ”的方法解决.
排列与组合的区别在于取出的元素是“ ”还是“ ”,如果与顺序有关
是 ,如果与顺序无关即是 .
问题?3:有限制的组合问题
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,则应坚持
“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是
“ ”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷
些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确
切含义是解决这些组合问题的关键.
问题?4:分组分配问题
,(1)不平均分组:把?n?个元素分成?p?组,各组的元素不尽相同,记各组的元素个数分别为?m1,m2,…,mp则分
,
法总数为 .
(2)平均分组:n=pm?时,把?n?个元素分成?p?组,每组的元素个数都为?m,则分法总数为 .
(3)部分平均分组:在分组问题中,若出现一部分组的元素个数相同,则分法总数为不均匀分组的总数除以
元素相同的组数个数的全排列的商.
如:把?7?个元素分成?3?组,各组的元素个数分别为?2,2,3,则分法总数为
以 ).
把?7?个元素分成?5?组,各组的元素个数分别为?1,1,1,2,2,则分法总数为
1,所以除以 ,有?2?组元素均为?2,所以除以 ).
(有?2?组元素均为?2,所以除
(有?3?组元素个数均为
1.将?2?名教师,4?名学生分成?2?个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由?1?名教师和?2
名学生组成,不同的安排方案共有( ).
A.12?种 B.10?种 C.9?种 D.8?种
2.某同学要出国学习,行前和六名要好的同学站成一排照纪念照,该同学必须站在正中间,并且甲、乙两同学
要站在一起,则不同的站法有( ).
A.240?种 B.192?种?C.96?种 D.48?种
3.从?6?位同学中选出?4?位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则不同选法的种数
为 .
4.6?本不同的书分给甲、乙、丙?3?位同学,每人各得?2?本,有多少种不同的分法?
特殊元素
某学校为了迎接市春季运动会,从?5?名男生和?4?名女生组成的田径运动队中选出?4?人参加比赛,要求男、
女生都有,则男生甲与女生乙至少有?1?人入选的方法种数为( ).
A.85 B.86 C.91 D.90
分组分配问题
有?6?本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方法?
(1)分成?1?本、2?本、3?本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中?1?人一本,1?人两本,1?人三本;
(3)平均分成三组,每组?2?本;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人选?2?本.
有条件的组合综合问题
要从?12?人中选出?5?人去参加一项活动.
(1)A,B,C?3?人必须入选有多少种不同选法?
(2)A,B,C?3?人都不能入选有多少种不同选法?
(3)A,B,C?3?人只有?1?人入选有多少种不同选法?
(4)A,B,C?3?人至少?1?人入选有多少种不同选法?
(5)A,B,C?3?人至多?2?人入选有多少种不同选法?
从?10?名大学毕业生中选?3?人担任村长助理,则甲、乙至少有?1?人入选,而丙没有入选的不同选法的种数
为( ).
A.85 B.56 C.49 D.28
将?6?位志愿者分成?4?组,其中两个组各?2?人,另两个组各?1?人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分
配方案有多少种(用数字作答)?
在?7?名男生?5?名女生中选取?5?人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
(1)A,B?必须当选;
(2)A,B?必不当选;
(3)A,B?不全当选;
(4)至少有?2?名女生当选;
(5)选取?3?名男生和?2?名女生分别担任班长、体育委员等
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