初二数学培优第4讲--角平分线、垂直平分线.pdf

第 4 讲 角平分线、垂直平分线 本讲知识归纳 1．(1) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； (2) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 2．三角形三条边的垂直平分线交于一点 （称为三角形的外心） ，这点到三角形三顶点的距离 相等． 基础回顾 例 1 已知，如图，AD是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于 E，DF⊥AC于 F，P 是 AD上任一点． 求 证： PE=PF． 例 2 如图，在平面直角坐标系中， AF、BE为角平分线， MN⊥AF 交 y 轴于 N点． (1) 求∠ AME； (2) 求证： AM=MN； (3) 连 FG，问 FG与 AB 的位置关系并证明， 练习 1．如图， AD为△ABC,的高，∠ B=2∠C．求证： CD=AB+BD. 2．如图， A （-1 ， 0），B （0， 3 ），∠ AB0=30°，∠ OAB的角平分线与 OB 的垂直平分线相 交于 P点． (1) 求 P点的坐标； (2) 作∠ ABO的平分线交 AP于 M，判断△ PBM 的形状． 方法运用 例 3 如图， ∠AOB=30 °，点 P 是∠ AOB内一点， P0=8，在∠ AOB的两边上分别有点 R、Q(均 不同于 O). (1) 求△ PQR周长的最小值； (2) 当△PQR周长取最小值时，求∠ QPR的值． 分析：由对称变换作出符合要求的点 Q与 R，根据对称的性质， 结合已知条件求出∠ PQR 的周长与∠ QPR的值． 例 4 如图，已知直线 MN与 MN异侧两点 A、B，在 MN上求作一点 P，使 PA-PB 最大，并说 明理由 . 练习 3．已知，如图，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB= 90°． D 是 BC上一点， CD=2，BD=BE， ∠DBE=90°，连接 CE，交 AB 于 M，且 CE=6．在 AB 上找一点 P，使△ PCD周长最小，并 求出这个最小值． 4 ．如图， 长方形台球桌 ABCD上，一球从 AB边上某处 P 点出发， 分别撞击球桌的边 BC、CD、 DA各一次后，又回到出发点 P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角 相等 ( 如图中∠ =∠ ). 已知 AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度 . 问题探究 例 5 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（ -1 ，0），点 C 的坐标是 (1 ，0) ，点 D 为 y 轴上一点，点 A 为第二象限内一动点，且∠ BAC=2∠BDO，过 D作 DM⊥AC于 M． (1) 求证：∠ ABD=∠ACD； (2) 若点 E 在 BA延长线上，求证： AD平分∠ CAE； AC AB (3) 当 A 点运动时， 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明 AM 理由． 例 6 已知等腰△ ABC 和等腰△ ADE 的顶点公共， B、A、E 在同一条直线上，∠ BAC=∠DAE， PB=PD,PC=PE． (1) 如图 1，若∠ BAC=90°，则∠ BPC+∠D PE= ； (2) 如图 2 ，若∠ BAC= ，则∠ BPC+∠DPE= ； (3) 在图 1 的基础上将等腰 Rt△ABC绕点 A 旋转一个角度，得到图 3，则∠ BPC+∠ DPE= _ ；并证明你的结论 .