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《勾股定理》单元检测题
时间:100分钟 满分:100分
一.选择题(每题4分,共40分)
1.观察下列各组数:①7,24,25;②9,16,25;③8,15,17;④12,15,20.其中能作为直角三角形边长的组数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若正整数a,b,c是直角三角形三边,则下列各组数一定还是直角三角形三边的是( )
A.a+1,b+1,c+1 B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c D.a﹣1,b﹣1,c﹣1
3.如果三条线段a、b、c满足a2=(c+b)(c﹣b),那么这三条线段组成的三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积为( )
A.30 B.24 C.20 D.48
5.如图,由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积是9,小正方形面积是1,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6.如图的阴影部分是两个正方形,图中还有两个直角三角形和一个大正方形,则阴影部分的面积是( )
A.16 B.25 C.144 D.169
7.将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍,则斜边扩大到原来的( )
A.4倍 B.2倍 C.不变 D.无法确定
8.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了( )
A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以AC为直径的圆恰好过点B,AB=8,BC=6,则阴影部分的面积是( )
A.100π﹣24 B.100π﹣48 C.25π﹣24 D.25π﹣48
10.有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8m B.10m C.12m D.14m
二.填空题(每题4分,共20分)
11.如图,已知∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD= .
12.已知△ABC的三边的长分别是AB=5、BC=4、AC=3,那么∠C= .
13.如图,一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm,高为12cm的圆柱形水杯中,吸管露在杯子外面的长度最短是 cm.
14.如图,它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短的直角边长为a,较长的直角边长为b,那么a+b的值为 .
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2= .
三.解答题(每题8分,共40分)
16.如图,CD是△ABC的中线,CE是△ABC的高,若AC=9,BC=12,AB=15.
(1)求CD的长.
(2)求DE的长.
17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处,过了2秒后,小汽车行驶到B处,测得小汽车与车速检测仪间距离为50米,
(1)求BC的长;
(2)这辆小汽车超速了吗?
18.如图所示,已知△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求CD的长;
(2)求AD的长;
(3)求证:△ABC是直角三角形.
19.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,设△ABC的面积为S,周长为l.
(1)填表:
三边a、b、c
a+b﹣c
3、4、5
2
5、12、13
4
8、15、17
6
(2)如果a+b﹣c=m,观察上表猜想:= (用含有m的代数式表示).
(3)证明(2)中的结论.
20.观察、思考与验证
(1)如图1是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式 ;
(2)如图2所示,∠B=∠D=90°,且B,C,D在同一直线上.试说明:∠ACE=90°;
(3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上),请你写出验证过程.
参考答案
一.选择题
1.解:①∵72+242=252=625,∴能作为直角三角形边长;
②∵92+162=337≠252=625,∴不能作为直角
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