几何图形中函数解析式的求法(学法指导).docxVIP

几何图形中函数解析式的求法 函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的 细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为 中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维 固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数 的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例 函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条 件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。 但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见 题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确 定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道， 函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何 图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在 几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。 一、 用图形的面积公式确立等量关系 例?1、如图?1，正方形?ABCD?的边长为 2?，有一点?P 在?BC?上运动，设?PB=?x?，梯形?APCD?的面积为?y （1）求?y?与?x?的函数关系式；  D???????????C P eq?\o\ac(△ eq?\o\ac(△,S) ABP?=S 体型?APCD?请确定?P?的位置。 A  图?1 B 分析：?本题所给的变量?y?是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式 S=?1?（上底+下底）×高?，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为 2 上底?CP=?2???x?，下底?AD=?2?，高?CD=?2?，于是由梯形面积公式建立两 个变量之间的等量关系，?y???1?(?2???x???2)???2?，整理得：?y???? 2?x???2?。（2） 2 2 略 例?2、如图?2，在直角梯形?ABCD?中，AD  A  D ∥BC，∠BCD=90°，AD=?a?，BC=2?a?， CD=2，四边形?EFCG?是矩形，点?E、G  E  G 分别在腰?AB、CD?上，点?F?在?BC?上。设 B  F???N  图?2 C EF=?x?，矩形?EFCG?的面积为?y?。（2002?年佛山中考题） （1）求?y?与?x?的函数关系式； （2）当矩形?EFCG?的面积等于梯形?ABCD?的面积的一半时，求?x?的值； （3）当∠ABC=30°时，矩形?EFCG?是否能成正方形，若能求其边长， 若不能试说明理由。 分析：本题所给的变量?y?值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式?S= 长×宽，若能算出长?FC?与宽?EF，或者用变量?x?、?y?表示?FC?和?EF，则 问题可获解决。其中宽?EF=?x?，问题归结为求出长?FC，从而两个变量?x?、 y?之间的关系通过矩形面积公式建立了。 解：（1）过点?A?作?AN⊥BC?于?N，因为在矩形?EFCG?中，EF⊥BC， ∴EF∥AN ∴?BF???EF BN AN 即?BF ??x?， 得?BF=?ax 2a???a 2 2 ∴EG=FC=?2a???BF???4a???ax 2 ∴?y???4a???ax???x 2 ∴所求的函数关系式是?y?????1?ax?2???2ax?（0<?x???2） 2 (2)、（3）略 二、 由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系 A 例?3、如图?3，在?Rt△ABC?中，∠B=90°，∠A=30°， D?为?BC?边上一动点，AD?的垂直平分线?EF?交?B、 O F E AD、C?于?E、O、F，AB=2。 （1）BD=?x?，AE=?y?，求?y?关于?x?的函数关系式； （2）是否存在?x?使四边形?AEDF?为菱形？若存在， B 则说明理由。  D 图?3  C 分析：本题所给图形中直角三角形较多，将两个变量?x，y?之间的关系 集中到同一直角三角形中问题可获得解决。因为?BD=x，AE=y，AB=2， 所以?BE=2-y，又根据线段中垂线的性质知?DE=AE=y。于是，在?RtΔBDE 中，由勾股定理建立两个变量之间的等式。 解：（1）∵EF?是线段?AD?的中垂线， ∴AE=DE=?y BD=?x?，BE=?2???y?，在?RtΔBDE?中， BD2+BE2=DE2， 即?x?2???(2???y)?2???y?2 整理得?y???1?x?2???1 4 在?RtΔABC?中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2?， ∴BC=?2?3?，∴0<?x?<?2?3?。 3 3 于是?y???1?x?2???1?(0<?x?<?2?3?)为所求的函数解析式。(2)略 4 3 三、 用平行线截线段成比例，利用比例式确