量子力学 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系.pptxVIP

研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系§3.7 算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 对于任意的波函数， 一、算符的对易关系：1. 坐标算符 和动量算符 的对易关系 将 作用在任意波函数 上，即： 而 是任意的，所以：该式称为 和 的对易关系，等式右边不等于0，即 和 不对易。同样可得： 以上可总结为基本对易关系： 即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。 a.称为 与 的对易关系，等于0称二算符对易；否则称二算符不对易 。 b.以上 和 的对易关系是量子力学算符的基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。 说明：2. 角动量算符的对易关系：说明：a. 可合并写为：(矢量式)，即角动量算符的定义式。即： 满足轮换对称性同理可证： b. 利用 可以证明： ；证明<5>：等式右边= = 等式左边=，等式成立。 3. 算符对易关系的运算法则：说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算符对易关系的证明，例如： 定理1：如果两个算符 和 有一组共同本征函数 ，而且 组成完全系，则算符 和 对易。证明：设有两力学量 和 有一组共同的本征函数 ，即：而 组成完全系，即对于任意的波函数 都可按{ }展为级数： 。二、两个力学量同时具有确定值的条件1.定理而 是任意的波函数即：[ ]=0，定理得证。则： 而 于是： 所以： 说明：若 和 有一组共同本征函数 ，并不一定能够得到=0的结论，除非 组成完全系。例： 但 证明：设{ }是 的完全本征函数系，且本征值 非简并。而 和 对易，则：即 也是 属于 的本征函数。定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。则： ① ②而 非简并，则 与 最多只能差一常数因子，记为 ，即：这样 也是 的本征函数，本征值为 。 所以 和 有组成完全系的共同的本征函数 。 在 简并时， 的本征函数不一定都是 的本征函数，但总可以通过线性迭加证明它们会有共同的本征函数且组成完全系。两算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这两个算符对易。 一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这些算符相互对易。 即：如果一组算符（……）有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。结论：（总结以上两定理）推广：（两个以上的算符）若……等可对易，由以上定理知，这些函数有完全的共同的本征函数系{ }，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态 时，力学量 有确定值 ， 有确定值 ，…（按3.6节讲的基本假设）。于是会存在这样的态，在这些态中， ，…代表的力学量可同时取确定值。结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。2. 不同力学量取确定值的条件：①动量算符 ， ， 对易，则它们有完全共同的本征函数系{ }， = =，在这些态中，力学量 同时都具有确定值 ；②氢原子的哈密顿算符 和 相互对易，则它们有完全的共同的本征函数系{ }，在态 中， 同时具有确定值，依次为： 。例如：解释：前面已证：[ ]=0且 是关于 ， 的微分算符， 是关于 的微分算符，所以：, 。而说明：[ ]=0不一定是不同力学量同时具有确定值的条件。例如：[ ]=0，则由定理知它们有完全的共同的本征函数系{ }，由上面得的结论：在它们的本征态中， 同时具有确定值 。但在一般的态中，如 = + ( )， 有确定值，而 无确定值。 是 度简并的， 的本征态不一定都是 的本征态。 实际上两个力学量算符对易与它们所代表的力学量可同时取确定值是两回事。在经典力学中用 完全描述质点三维运动状态， 实际上为6个量，即： 。一般说来，有 个自由度的体系的态需有2个力学量来完全描述。 定义：在量子力学中，称能够完