9.中国数学教育名师讲堂（万伟华开锁法）.docx

中国数学教育名师讲堂微研（第9期） PAGE20 / NUMPAGES21 中国数学教育名师讲堂微研 主讲：万伟华 2017年1月15日 在直角坐标系中，我们常常遇到等腰直角三角形及45°的构建问题，传统方法主要是“就地解决”，一般通过构建一线三直角，利用全等处理。必须承认的是，此方法极为有效，美中不足之处在于辅助线构造繁杂，特别在分类讨论时，容易出现漏解。 此外，我个人认为，在坐标系中解决问题，尽可能以代数思想为主，几何方法为辅。 这不仅是我个人观点，其实也符合笛卡尔老先生的初衷，这位鼻祖认为尽量将几何问题代数化。 相信大家对坐标系的起源及意义都非常熟悉， 因此我开始探索此类问题代数化方法。开锁法也就应运而生了。 所谓开锁法，就是将静态的问题，用动态的方法进行处理的一种手段。可广泛应用于等腰直角三角形及45°的构建问题。 以下我们通过简单的问题，探索开锁法的基本步骤。先上点小菜，边聊边品尝 例1：A（4,1），若将点A绕原点旋转90°得到点B，求点B坐标 显然点B的坐标为（1，－4）或（－1,4），此时，△AOB为等腰三角形。 注意此时B1，B2存在对称关系 例2：A（a,b），若将点A绕原点旋转90°得到点B，求点B坐标 显然点B的坐标为（b，－a）或（－b,a），此时，△AOB为等腰三角形。 此问题分三种情况： （1）若两定点已知，可直接通过“开锁法”确定第三点坐标； （2）一定点一动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标； （3）同一参数两动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。 不难看出，开锁法属于“知二求一” 注：开锁过程。 第一步，将钥匙平移至锁眼位置； 第二步，将钥匙绕锁眼旋转90°； 第三步，将钥匙平移回原位，开锁过程结束。 熟练掌握开锁法的意义：首先，此法通俗易懂，便于教学；其次，能秒杀这类问题，具有很强的实战性；最后，真正体现了代数思想，可以“盲做”，即不通过几何构建，达到解题目的。 美中不足的是，此法并未大面积推广，不熟悉的老师中考阅卷可能面临难题，解答虽正确，但没有中考评分标准。 设点P（m，2＋3m）（m>0）或P（3m，2－m）（m>0），分别代入抛物线解析式求解即得 典型的45°构建，可以先作垂线，得出一个等腰直角三角形，利用开锁法秒杀 典型的一个定点C，一个参数点N，用开锁法求出点P参数点，代入抛物线，直接秒杀  我喜欢绕D转，因为D点已知，得到Q之后再求CQ与抛物线的交点 设直角顶点N的横坐标为参数t，表示出N点的完整坐标，请大家看清先平移直角顶点N，再平移C，开锁，用t表示P点的坐标，平移回归，确定P点的坐标，代入抛物线解析式求出参数t。 这道题属于引入，大家必须理解到位，后面的问题也就迎刃而解 设P（－m，－3－3m）（m>0）代入抛物线解析式解得即可。 与上例一样，两者并无本质差异，不一样的大餐，同样的烹饪手法。 巧设，可以在参数表示的点坐标中，尽量避免分数 巧设p(t,3t-3) 设点P（－5＋4m，m）或P（－5＋4m，－m），代入抛物线解析式解得即可。 所谓一招鲜，吃遍天，不一样的味道，还是熟悉的配方。 典型的两个定点，用开锁法求出点H坐标，求出AP方程，联立抛物线，直接秒杀 看到没，大餐的做法很简单。 实际上，开锁法属于一线三直角的特例通法。本质上属于一线三直角 看我上面的示意图，就知道怎么来的了，就是考试时的格式有点麻烦，只能用“易得”之类了 二三两问紧密关联。本来图形就很复杂，填上辅助线，眼都花了，看到题目中核心信息EF=EP，EF⊥EP。心中暗自得意，熟悉的味道，直接破门而入。一个定点，一个参数点，用开锁法求出F参数点 直角顶点是锁孔 我有幸和这道题的原创聊天，他也感觉我的解答比较精彩。 直角顶点一般在直线上，参数就有了 这也是我想知道的。大家能否理解这里的平移，旋转，平移归位 实质就是一线三直角 这道题难在分类讨论，其实熟练掌握了“开锁”技巧，貌似难啃的骨头也是秒杀 设参数顶点P，得出带参数的抛物线，与直线y=2x-1联立，得出点Q的参数。分类讨论三种开锁情况，直接秒杀。由于点G隐含x=0，故轻松求解 本题属于有三个动点，其中两个是同一参数动点，故开锁法得出第三个参数点 找准锁眼直角点插入旋转是关键平移归位是过程一线三直是本质 “开锁法”口诀：等腰直角有诀窍，平移原点再旋转，横纵坐标顺序换。符号确定由象限，平移原位坐标现。 特别注意的是，确定符号的基本方法，第一步，交换横纵坐标位置；第二步，标注第一次平移后两点所在的象限符号，第三步，观察象限符号，并最终确定改变的符号。 与上面题目一样，依然找出构建等腰直角三角形的两个参数点，显然T，Q成为我们优先下手的地方。分类讨论三种开锁情况，直接秒杀。 T，Q属于肥肉，先下手为强