—新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——14.不等式选讲.docx

广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流 2011 年— 2017 年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编 14．不等式选讲 （ 2017·23）已知 a 0,b 0,a3 b3 2 ，证明： （ 1） (a b)(a3 b3 ) 4 ； 2） a b 2 ． （ 2016·24）已知函数 f ( x) | x 1 | | x 1 |， M 为不等式 f ( x) 2 的解集 . 2 2 （Ⅰ）求 M ； （Ⅱ）证明：当 a， b∈ M 时， a + b 1+ ab . （ 2015·24）设  a， b， c，d 均为正数，且  a  b  c d  ，证明： （Ⅰ）若  ab  cd  ，则  a  b  c  d  ； （Ⅱ）  a  b  c  d 是 | a  b | | c  d |的充要条件  . （ 2014·24）设函数 f ( x) | x 1 | | x a | (a 0) . a （Ⅰ）证明： f (x) ≥2； （Ⅱ）若 f (3) 5 ，求 a 的取值范围 . （ 2013·24）设 a、b、c 均为正数，且 a b c 1 . 证明：（Ⅰ） ab bc ca 1 ；（Ⅱ） a2 b2 c2 1. 3 b c a （ 2012·24）已知函数 f (x) = |x + a| + |x- 2|. （Ⅰ）当 a =- 3 时，求不等式 f (x) ≥3 的解集； （Ⅱ）若 f (x) ≤| x- 4 |的解集包含 [1, 2] ，求 a 的取值范围 . （ 2011·24）设函数 f ( x) | x a | 3x ，其中 a 0 . （Ⅰ）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集； （Ⅱ）若不等式 f ( x) 0 的解集为 { x | x 1} ，求 a 的值 . 广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流 2011 年— 2017 年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编 14．不等式选讲（逐题解析版） （ 2017·23） [选修 4-5：不等式选讲 ]已知 a 0,b 0, a3 b3 2 ，证明： （ 1） (a b)(a3 b3 ) 4 ；（ 2） a b 2 ． 【基本解法】（ 1）解法一：由柯西不等式得： (a b)(a5 b5 ) ( a )2 ( b ) 2 ( a a2 )2 ( b b2 )2 (a3 b3 )2 4 解法二： (a b)(a5 b5 ) a6 b6 ab 5 a5b ( a3 b3 ) 2 ab5 a5b 2a3b3 (a3 b3 )2 2 a6b6 2a3b3 (a3 b3 )2 4 解法三： a b a5 b5 4 a b a5 b5 a3 b3 2 ab5 a5 b 2a3b3 又 a 0, b 0 ，所以 ab5 a5b 2a3b3 ab a2 b2 2 0 ． 当 a b 时，等号成立 ． 所以， a b a5 b5 4 0 ，即 (a b)(a5 b5 ) 4 ． （ 2）解法一：由 a3 b3 2 及 ab ( a b)2 得 4 2 (a b) (a2 b2 ab) ( a b) (a b)2 3ab (a b) (a b)2 3(a b) 2 ( a b)3 4 4 所以 a b 2 ． 解法二：（反证法）假设 a b 2 ，则 a 2 b ，两边同时立方得： a3 (2 b)3 8 12b 6b2 b3 ，即 a3 b3 8 12b 6b2 ，因为 a3 b3 2 ， 所以 6 12b 6b2 0 ，即 6(b 1)2 0 ，矛盾，所以假设不成立，即 a b 2 ． 解法三：因为 a3 b3 2 ， 所以： a b 3 8 a 3 4 a3 b3 a3 3a2b 3ab2 b3 4a3 4b3 b 3a2 b a 3b2 a b 2 3 a b a b . 又 a 0, b 0 ，所以 : 3 a b a b 2 0 。 所以， a b 3 8 ，即 a b 2 ． 解法四：因为 a3 1 1 33 a 3a, b3 1 1 3 3 b 3b ， 所以 a3 1 1 b3 1 1 3(a b) ，即 6 3(a b) ， 即 a b 2 （当且仅当 a b 1 时取等号）． 广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流 （ 2016·24）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f ( x) | x 1 | | x 1 | ， M 为不等式 f ( x) 2 的解集 . 2 2 （Ⅰ）求 M ； （Ⅱ）证明：当 a， b∈ M 时， a