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关于蹦极的受力分析及数学建模
摘要
本文对人在蹦极跳过程中受到的重力、拉力和空气阻力等,分阶段进行了详细的
受力分析,并根据牛顿第二定律,利用微分的理念证明了在人的质量和弹簧绳长度确
定的条件下,蹦极者能够达到的最大速度和弹簧绳最大拉伸长度是一定的(选择不同
的绳长可以获得不同的最大速度,得到不同的刺激体验) 。
其次,分别在忽略或考虑空气阻力影响 (数据借鉴自华东师大研究生数学建模比赛
题目的条件)的基础上,探讨了蹦极过程中质量,绳长和最大速度,弹簧绳最大伸长
量之间的关系。
利用这个模型, 蹦极活动经营者可以改进服务, 让消费者可以根据自身体重选择合
适的弹簧绳长度,得到自己能够接受的最大速度和下跳深度,让蹦极运动成为一种可
“自选式的”刺激体验。让更多的消费者接受。
关键词
数学建模 MATLAB 蹦极
前言
蹦极( bungee jumping)是从国外开始流行、传入我国的一项运动 , 由于蹦极时失
重、速度与加速度带给人感官的极度体验 , 使得这项运动深受喜欢刺激和冒险的青年的
青睐。目前的蹦极塔多选在悬崖或水库上,让跳蹦极的人在跳下后第一次能“差一点
儿”碰到水面,带给人最大的感官刺激。虽然保证安全,但是能够享受这样强烈刺激
的人毕竟是很少数,所以至今蹦极也还被归类为极限运动,一定程度上限制了其推广。
本文根据牛顿第二定律,对蹦极者在运动过程中受到的重力、拉力和空气阻力等
进行受力分析,找到最大速度 Vmax 和蹦极者质量 m、弹簧绳长度 L 之间的关系。根
据分析建立起来的数学模型,可以指导蹦极经营者对现有设施稍作修改,让蹦极者可
以“自选”能够接受的最大速度和下跳深度,让更广大的消费者人群能够体验蹦极运
动带给人的刺激和乐趣。
忽略空气阻力条件下,在蹦极者下落过程中,其受力与运动情况在不同的阶段下
是不相同的:
第一阶段,弹簧绳没有全部展开,蹦极者所受弹簧拉力为零,做自由落体运动;
第二阶段,弹簧绳开始被拉伸,蹦极者开始受到向上的弹力,蹦极者下落速度虽
仍在增加,但加速度减小;
第三阶段,弹簧绳拉力和重力相等,此时加速度为零,蹦极者速度达到最大值;
第四阶段,弹簧绳继续被拉伸,弹力开始大于重力。蹦极者下落速度减小,直到
为零时,达到最低位置。
之后蹦极者会在弹力作用下回升并再次下落,经过几个来回后静止下来。但最大
速度和弹簧绳伸长量都不会超过初次下落。所以计算蹦极者的最大速度,就考虑初次
下落即可。
分析及推导
一、不考虑空气阻力时推导蹦极者的最大速度和下跳深度
设蹦极绳长为 L ,初速度 v0 0 ,则
1 2
L gt
2
蹦极绳长全部展开时人的速度为 : vL 2 Lg
之后,人不仅受到重力,还受到绳的拉力,加速度在减小,速度仍在增加,直至
1
加速度为 0 时,速度最大。
设加速度为 0 时,蹦极绳被拉长量 ΔL,此时
m [1]
mg kg L ,即 L ( k=7.4408 千克 / 米 )
k
为了求解最大速度,将 L 平均分成 n 小份,每一小份中,
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