人教A版选修【4-5】1.2.1《绝对值三角不等式》习题及答案.docxVIP

数学·选修?4－5(人教?A?版) 不等式和绝对值不等式 1.1?不等式 1．2.1 绝对值三角不等式 一?层?练?习 1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( A．|x－y|<2m B．|x－y|<2n C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m 答案：D 2．设?ab>0，下面四个不等式： ①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|； ) 1 ③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|. 其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 答案：C b3．若?a，?∈R，且|a|≤3，?b|≤2，则|a＋b|的最大值是________， b 最小值是________． x? x? 答案：5?0 ??????q? 4．已知?p?，q，x∈R，pq≥0，x≠0，则?px＋??______2 ?  pq(填 “≥”，“≤”，“>”或“<”)． 答案：≥ 5．若不等式|x－4|＋|x－3|>a?对一切实数?x?恒成立，则实数?a 的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(3,4) D?．[3，＋∞) 答案：A 6?．?方?程?|x|?＋?|logax|?＝?|x?＋?logax|(a>1)?的?解?集?是 2 ________________． 答案：{x|x>1} 二?层?练?习 7．函数?y＝|x－3|?－|x＋1|?的最大值是?________?，最小值是 ________． 8．|x－A 8．|x－A|<? ，|y－A|<? 是|x－y|<ε???的(??? ) ε ε 2 2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案：A 9．对于实数?x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最 大值是________． 3 解析?：?|x?－?2y?＋?1|?＝?|x?－?1?－?2(y?－?2)?－?2|≤|x?－?1|?＋?2|y?－?2|?＋?|?－ 2|≤1＋2＋2＝5. 答案：5 三?层?练?习 10．设?A(x?，y?)，B(x?，y?)是平面直角坐标系?xOy?上的两点， 1 1 2 2 现定义点?A?到点?B?的一种折线距离为?ρ?(A，B)＝|x?－x?|＋|y?－y?|， 2 1 2 1 对于平面?xOy?上给定的不同的两点?A(x?，y?)，B(x?，y?)，若点?C(x， 1 1 2 2 y)是平面?xOy?上的点， 试证明：ρ?(A，C)＋ρ?(C，B)≥ρ?(A，B)． 11．已知实数? 11．已知实数?x，y?满足：|x＋y|<??，|2x－y|<??，求证：|y?|<? . ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y?2－y| ≥|(x－x1)＋(x2－x?)|＋|(y－y?1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1| ＝ρ(A，B)． 当且仅当(x－x1)·(x2－x)≥0?且(y－y1)·(y2－y)≥0?时等号成立． 1 1 5 3 6 18 证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)＋(y－2x)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 4 由题意设|x＋y|<??，|2x－y|<??，∴?3|y|<2×??＋??＝??.∴|y|< .2|a|???? 2??? 由题意设|x＋y|<??，|2x－y|<??， ∴?3|y|<2×??＋??＝??. ∴|y|< . 2|a|???? 2??? 2 证明：(1)当|a|≤|b|时，由????? ≥0， － ≤0，知不等式成立 |a2－b2| ?|a| |b|? |a|2－|b|2 |a|－|b| |a|－|b| ?|a|＋|b| －?????? ＝?????? ×???? －1? －??2?－?2??＝ ??? |a|???? ? 3 6 1 1 5 3 6 6 5 18 |a2－b2| |a| |b| 12．求证： ≥ － . |a2－b2| 2|a| |a| |b| 2 2 (2)当|a|>|b|时． ? ? ? 2|a| ? ? 2|a| 2 2 |a|－|b| b 2＝ ×a≥0. 2  |a2－b2|所以?????? |a2－b2| 所以?????? ≥ － . 2|a| 2 2 1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和 5 ??a，a≥0，性质： ??a，a≥0， 设?a∈R，则|a|＝? ??－a，a＜0. |a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a2. 2．绝对值不等式的性质定理的推广： |a?＋a?＋a?|≤|a?|＋|a?|＋|a?|； 1 2 3 1 2 3 |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋?|an|； |a|－|b