(word完整版)高等代数(北大版)第5章习题参考答案[1].doc

第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4 x1 x2 2 x1 x3 2x2 x3 ； 2） x12 2 x1 x2 2x22 4x2 x3 4x32 ； 3） x12 3x22 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 ； 4） 8x1 x4 2x3 x4 2x2 x3 8x2 x4 ； 5） x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4 ； 6） x12 2 x22 x42 4x1 x2 4x1 x3 2x1 x4 2x2 x3 2x2 x4 2 x3 x4 ； 7） x12 x22 x32 x42 2x1x2 2x2 x3 2x3 x4 。 解1）已知 f x1 , x2 , x3 4x1 x2 2x1x3 2x2 x3 ， 先作非退化线性替换 x1 y1 y2 x2 y1 y2 （ 1） x3 y3 则 f x1 , x2 , x3 4 y12 4y22 4 y1 y3 4y12 4y1 y3 y32 y32 4y22 2 y1 y3 3 y32 4 y22 ， 再作非退化线性替换 y1 1 z1 1 z3 2 2 y2 z2 （ 2） y3 z3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 z 2 4z 2 z2 ， 1 1 2 3 最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为 x1 1 z1 z2 1 z3 2 2 x2 1 z2 1 （ 3） z1 z3 2 2 x3 z3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ， 0 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 0 1 2 ）已知 f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 2x22 4 x2 x3 4x32 ， 由配方法可得 f x1 , x2 , x3 x12 2x1 x2 x22 x22 4x2 x3 4x32 x 1 x 2 x 2 2x 2 ， 2 3 于是可令 y1 x1 x2 y2 x2 2x3 ， y3 x3 则原二次型的标准形为 f x1 , x2 , x3 y12 y22 ， 且非退化线性替换为 x1 y1 y2 2 y3 x2 y2 2y3 ， x3 y3 相应的替换矩阵为 1 1 2 T 0 1 2 ， 0 0 1 且有 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 T AT 1 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 0 。 2 2 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0 （ 3）已知 f x1 , x2 , x3 x12 3x22 2x1x2 2x1 x3 6x2 x3 ， 由配方法可得 f x , x , x 3 x 2 2x x 2 2x x 3 2x x x 2 x 2 4x 2 4x 2 x x 2 1 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 3 x1 x2 x3 2 2x2 x3 2 ， 于是可令 y1 x1 x2 x3 y2 2x2 x3 ， y3 x3 则原二次型的标准形为 f x1 , x2 , x3 y12 y22 ， 且非退化线性替换为 x1 y1 1 y2 3 y3 2 2 x2 1 y2 1 y3 ， 2 2 x3 y3 相应的替换矩阵为 1  1 3 2 11 T 0 ， 2 0 0 1 且有 1 1 3 1 0 0 1 1 1 2 2 1 0 0 1 1 0 1 3 3 0 1 1 0 1 0 。 T AT 2 2 2 2 1 3 0 0 0 0 0 3 1 1 0 1 2 2 （ 4）已知 f x1 , x2 , x3 , x4 8x1 x2 2x3 x4 2x2 x3 8x2 x4 ， 先作非退化线性替换 x1 y1 y4 x2 y2 ， x3 y3 x4 y4 则 f x1 , x2 , x3 , x4 8y1 y4 8 y42 2 y3 y4 2y2 y3 8 y2 y4 2 8 y42 2 y4 1 y1 1 y2 1 y3 1 y1 1 y2 1 y3 2 2 8 2 2 8 8 1 y1 1 y2 1 y3 2 2 y2 y3 2 2 8 8 1 y1 1 y2 1 y3 2 1 y3 2 y4 2 y1 y2 2 y2 y3 ， 2 2 8 4 再作非退化线性替换 y1 z1 y2 z2 z3 ， y3 z2 z3 y4 z4 则 8 1 z1 5 z2 3 z3 2 5 z2 3 z3 2 f x1 , x2 , x3 , x4 z4 2 z1 2 8 8 4 4 2z22 2z32 ，