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相似模型巩固练习(提优)
1. 如图,在中,、分别是边、的中点,、分别交于点、,则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为
A. B. C. D.
【解答】B
【解析】,是的中点,,,即,
同理可得,,,,
、分别是边、的中点,,,,
,,
图中阴影部分图形的面积,
即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为.
2. 如图,中,点在上,过点作交于点,过点作交于点,连接,交于点,则下列说法不正确的是
A. B. C. D.
【解答】A
【解析】A、,,
,A错误,故本选项符合题意;
、,,
,B正确,故本选项不符合题意;
、,,
,C正确,故本选项不符合题意;
、,,
,,,D正确,故本选项不符合题意.
3. 如图,已知,,,以点为圆心,4为半径作圆.点是上的一个动点,连接、,则的最小值为 .
【解答】取得最小值为
【解析】如图,在上取一点,使,连接、、.
,,,所以,,
,,
,,
,,
当且仅当E、D、A三点共线时,取得最小值.
4. 如图,矩形中,,,点是边上一点,交于点,则长的取值范围是 .
【解答】
【解析】,,
又,,
又四边形是矩形,,
又,,
,,
又,,,
,解得:,
又,.
5. 如图,,直角三角形斜边的端点,分别在射线,上滑动,,,连接.当平分时,的长为 .
【解答】2或
【解析】①当时,,,
,,垂直平分线段,
,,,,四点共圆,
,,
,是等边三角形,.
②当四边形是矩形时,此时平分,,
综上所述,满足条件的的值为或2.
6. 如图,在中,点、分别在边、上,,分别交线段、于点、,且.求证:
(1)平分;
(2).
【解答】(1)见解析;(2)见解析
【解析】(1),
,,,
在和中,
,,
,平分;
(2)在和中,
,,,
在和中,
,,
,,.
7. 如图,点、、、是上的四个点,是的直径,过点的切线与的延长线垂直于点,连接、相交于点.
(1)求证:平分;
(2)若的半径为,,求的长.
【解答】(1)见解析;(2).
【解析】(1)证明:如图,连接
过点的切线与的延长线垂直于点,,
,
,即平分;
(2)如图,设交于点,连接,
为直径,,
,
,
,,,
的半径为,,
,,,
,易得四边形为矩形,
,
,,
解得:,的长为.
8. 如图,已知是的弦,点在上,且,联结,,并延长交弦于点,,.
(1)求的大小;
(2)若点在上,,求的长.
【解答】(1)∠OAB=30o;(2).
【解析】(1)如图,连接,
,,
,,
,垂直平分,,
设的半径为,则,
在中,,
,解得,,
,
,即;
(2)如图2,连接,
由(1)知,,
,,
,,,
,是等边三角形,.
9. 已知,正方形中,点是边延长线上一点,连接,过点作,垂足为点,与交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,连接,若,,求的值.
【解答】(1)见解析;(2)
【解析】(1)四边形是正方形,,,
又,,
又,,,
在和中,
,,;
(2)过点作,设,,
如图2所示:
,,
又,,,,,
,解得:,,
在中,由勾股定理得:,
同理可得:,
又,,
在中,由勾股定理得:
,.
10.如图在中,,点在上,以为半径的交于,的垂直平分线交于,交于,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,且,求的直径.
【解答】(1)见解析;(2)的直径为
【解析】(1)如图,连接,
,,
是的垂直平分线,,,
,,,
,直线与相切;
(2)如图,,,,,
垂直平分,,,
又,,,
又,,是等边三角形,
,∴的直径为.
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