等腰三角形存在性巩固练习（提优）-冲刺2020年中考几何专项复习（解析版）.docxVIP

韩哥智慧之窗-精品文档 PAGE 1 韩哥智慧之窗-精品文档 等腰三角形存在性问题巩固练习（提优） 1．在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】B 【解析】如图， ， ∵AB所在的直线是y＝x， ∴设AB的中垂线所在的直线是y＝﹣x+b， ∵点A（，），B， ∴AB的中点坐标是， 把x＝，y＝代入y＝﹣x+b， 解得b＝， ∴AB的中垂线所在的直线是， ∴， 以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3； ， ∵， ∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点． 综上，可得 若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3． 故选：B． 2．平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为　 　． 【解答】（﹣3，4）或（﹣8，4）或（﹣2，4） 【解析】设P（m，n）． ∵A（﹣5，0）， ∴OA＝5， ∵S△POA＝10， ∴×5×n＝10， ∴n＝4， 当OP＝OA＝5时，m2+42＝52， ∴m＝±3， ∵m＜0， ∴m＝﹣3， ∴P（﹣3，4）， 当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52， ∴m＝﹣2或﹣8， ∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）． 故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有　 　个． 【解答】8 【解析】如图所示： ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个． 4．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的动点，当点O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 【解答】见解析 【解析】如图所示， 满足条件的点P有8个，其坐标分别为P1（5，0）、P2（8，0）、P3（0，5）、P4（0，6）、P5（﹣5，0）、P6（0，﹣5）、P7（0，）、P8（，0）． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0） （1）求△ABC的面积； （2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由． （3）有一个P（﹣4，a），使得S△PAB＝S△ABC，请你求出a的值． 【解答】（1）3；（2）D（0，）；（3）a的值为4或﹣2 【解析】（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）， ∴AO＝1，BC＝6， ∴△ABC的面积＝×6×1＝3； （2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示， 设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a， ∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°， ∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2， ∴a2+22＝（a+1）2， 解得a＝， ∴D（0，）； （3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上， 过C作CP∥AB，交l于点P，则S△PAB＝S△ABC， ∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1， 设直线CP解析式为y＝﹣x+b， 把C（4，0）代入，可得 0＝﹣2+b， 解得b＝2， ∴直线CP解析式为y＝﹣x+2， ∴F（0，2）， 当x＝﹣4时，y＝2+2＝4， ∴P（﹣4，4）； 当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3， ∴OE＝4，即E（0，﹣4）， ∴直线P'E解析式为y＝﹣x﹣4， 当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2， ∴P'（﹣4，﹣2）， ∴a的值为4或﹣2． 6．如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论． 【解答】（1）见解析；（2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形 【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 故△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形． ∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE， ∴∠