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目 录
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3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别4
3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别5
3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别5
4 矩阵的等价、合同和相似的应用 6
4.1 矩阵等价的应用7
4.2 矩阵相似的应用9
4.3 矩阵合同的应用9
4.4 三种关系在概率统计中的应用10
5 结论12
结束语12
参考文献13
1
摘 要:
本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用,总结它们之间的结论和定理并应
用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。
关键字:
矩阵的等价关系及应用,矩阵的相似关系及应用,矩阵的合同关系及应用
1.引言 Commented [A1]:
高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关
系.那么为了更好的掌握它们,我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点,总结它
们的规律,并且要了解它们在各个领域的应用,我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似
是可以相互转化的,加什么条件才可以相互转化,如果不能相互转化,那么你能找到相应的特例吗?
另外,三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的?
2.矩阵的三种关系
2.1 矩阵的等价关系
定义 2.1.1 : 两个s n 矩阵A,B 等价的充要条件为:存在可逆的 阶矩阵p 与可逆的 阶矩阵Q ,
s n
使得B PA Q
矩阵 A 与B 等价必须具备的两个条件:
(1)矩阵A 与B 必为同型矩阵(不要求是方阵).
(2 )存在 阶可逆矩阵p 和 阶可逆矩阵Q , 使B PA Q .
s n
2.1.2 矩阵等价的性质:
(1)反身性:即A A .
(2 )对称性:若A B ,则B A .
(3 )传递性:若A B ,B C ,则A C .
(4)A 等价于 B 的充要条件是秩(A )=秩(B )
Er 0
0 0
(5)设 A 为 m ×n 矩阵,秩(A )=r ,则A 等价于 ,即存在 m 级可逆矩阵 P ,n 级可逆矩阵
Er 0
PA Q
0 0
Q ,使 .
1 *
0 , ,
(6)(Schur 定理) 任何 n 级复方阵 A 必相似于上三角形矩阵,即 A 相似于 n 其中 1 n
为矩阵 A 的特征值.
定理 2.2.1: 若 A 为m n 矩阵,并且r (A) r ,则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q (n 阶),
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