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第十一章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程
习
题 11 —1
1.判断下列方程是几阶微分方程?
2
(1) d y
y tant 3t 3 sin t 1;
(2) (7 x
6 y)dx
(x y)dy 0;
d t
(3) x( y )2
2 yy x 0;
( 4) xy
2( y )4
x2 y 0 .
解 微分方程中所出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,叫做微分方程的阶.所以有:
(1)一阶微分方程;
( 2)一阶微分方程;
(3)三阶微分方程;
( 4)三阶微分方程.
2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
(1) xy
2 y , y
5x2 ;
(2) y
y 0 , y
3sin x
4cos x ;
(3) y
2y y 0 , y
x2 ex ;
(4) (xy
x) y
x( y ) 2
yy
2 y
0
, y
ln( xy) .
解 (1)将 y
10x 代入所给微分方程的左边,得左边
10x2
2(5x2 )
右边,故 y 5x2
是微分方程 xy
2y 的解.
(2)将 y
3cos x
4sin x , y
3sin x
4cos x 代入所给微分方程的左边,得
左边
( 3sin x
4cos x) (3sin x
4cos x) 0 右边,
故 y
3sin x
4cos x 是微分方程 y
y
0 的解.
(3)将 y
x2 ex , y 2xex
x2 ex
, y
2ex
4x ex x2 ex 代入微分方程的左边,得
左边
(2e x
4x ex
x2 ex )
2(2x ex
x2 ex )
x2 ex
2e x
0 (右边),
故 y
x2 ex 不是所给微分方程
y
2 y
y
0 的解.
(4)对方程 y
ln( xy) 的两边关于 x 求导,得
y
1
y ,即
xyy
y xy .再对 x 求
x
y
导,得
yy
x( y ) 2
xyy
y
y
xy
,
即 (xy x) y
x( y ) 2
yy
2 y
0 ,故 y
ln( xy) 是所给微分方程的解.
3.确定下列各函数关系式中所含参数,使函数满足所给的初始条件.
(1) x2
y2
C , y x 0
5 ;
(2) y
(C1
C2 x)e 2 x , y x 0
0 , y x 0
1 .
1
解 (1)将 x 0
, y
5 代入微分方程,得
C 02
52
25
所以,所求函数为
y2
x2
25
.
(2) y
C2 e2 x
2(C1
C2 x)e 2x
(2 C1
C2
2C2 x)e 2 x ,将 y x
0
0 , y x 0
1 分别代入
y
(C1
C2 x)e 2x 和 y
(2C1 C2 2C2 x)e 2x
,
得 C1
0 , C2
1 ,所以,所求函数为
y
x e2 x .
4.能否适当地选取常数
,使函数 y
e x 成为方程 y 9y
0 的解.
解
因为 y
e x , y
2 e x ,所以为使函数
y
e x 成为方程
y 9 y
0
的解,只须
满足
2 e x 9e x
0 ,即 (
2
9)e x
0 .而 e x
0 ,因此必有
2
9
0 ,即
3 或
3 ,
从而当
3,或
3 时,函数 y
e3x ,
y
e 3x 均为方程 y
9 y
0 的解.
5.消去下列各式中的任意常数
C,C1, C2 ,写出相应的微分方程.
(1) y
Cx
C 2 ;
( 2) y x tan
x
C ;
(3) xy C1 ex C2 e x ;
(4) ( y C1 ) 2
C2 x .
解
注意到, 含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程;
含两个独立常
数的式子对应于二阶微分方程.
(1)由 y Cx
C 2 两边对 x 求导, 得 y
C ,代入原关系式
y
Cx C 2 ,得所求的微分
方程为 ( y ) 2
xy
y .
(2)由 y
xtan(x C ) 两边对 x 求导,得
y
tan(x
C )
x sec2 ( x
C ) ,
即
y
tan(x
C) x
xtan2 ( x
C) .而 y
tan(x
C) ,故所求的微分方程为
x
y
2
x
x
y
,
y
x
x
化简得
xy
y
x2
y2 .
(3)由 xy
C1 ex C2 e x 两边对 x 求导,得
y
xy C1 ex
C2 e x ,两边再对 x 求导,得
y y xy C1 ex C2 e x ,
可得所求的微分方程为
xy
2 y
xy .
(4)由 ( y
C1
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