微分几何课程标准.docx

《微分几何》课程标准 一、 课程概述 《微分几何》是数学与应用数学(师范)专业的一门选修课，本课程是以数学分析为主要 工具研究空间形式的一门数学分科。 它以经典微分几何为主要内容， 主要讨论三维欧氏空间中 曲线和曲面的局部性质。同时还介绍了现代研究方法，即外微分、活动标架方法去处理曲线、 曲面的局部理论。 通过本课程的学习， 可以使学生空间思维及几何直观想象能力得到提高， 为 进一步学习诸如流形上微积分、偏微分方程、拓扑、黎曼几何等课程打好基础。 二、 课程目标 1、 知道《微分几何》这门科学的性质，地位与独立价值，知道该学科的研究对象、研究 方法、学科进展与未来方向； 2、 理解本学科的基本概念、基本原理和方法及初步的应用； 3、 能用《微分几何》的观点来认识中学几何的内容； 4、 具备进一步学习现代微分几何及其它数学分支的基础知识。 三、 课程内容、教学要求 该课程的知识与技能要求分为了解、 理解、掌握三个层次，下面教学内容和要求表中的 “V” 号表示教学知识和技能的教学要求层次。 (一)曲线论 教学内容 教学要求 知 道 理 解 掌 握 学 会 1、 向量代数复习 2、 向量函数的概念、连续性、微商、泰勒公式与积分 3、 曲线的概念 曲线的概念、光滑曲线、曲线的正常点 曲线的切线与法平面 曲线的弧长、自然参数 4、 空间曲线 空间曲线的切平面 空间曲线的切线与法平面 V V V V V V V  (3)空间曲线的曲率、挠率和伏雷内( Frenet)公式 V (4)空间曲线在一点邻近的结构 V (5)空间曲线论的基本原理 V 5、特殊曲线 (1)平面曲张的伏雷内标架 V (2)平面曲线的曲率、曲率半径、曲率圆 V (3)平面曲线的伏雷内(Frenet)公式 V (4)平面曲线在一点邻近的结构 V (5)平面曲线的渐缩线和渐伸线 V (6) 一般螺线 V (7)伏特朗曲线 V (二)曲面论 教学内容 教学要求 知 道 理 解 掌 握 学 会 1、曲面的概念 (1 )简单曲面及其参数表示 V (2 )光滑曲面、曲面的切平面与法线 V (3)曲面上的曲线簇和曲线网 V 2、曲面的第一基本形式 (1)曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长 V (2)曲面上两方向的交角 V (3 )正交曲线簇和正交轨线 V (4)曲面的面积 V (5)等距变换和保角交换 V 3、曲面的第二基本形式 (1)曲面的第二基本形式 V (2)曲面上曲线的曲率 V (3)杜邦(Dupin )指标线 V (4)曲面的渐近方向和共轭方向 V  (5 )曲面的主方向和曲率线 V (6)曲面的主曲率、咼斯(Ga nss)曲率和平均曲率 V (7 )曲面在一点邻近的结构 V (8)咼斯(Ganss)曲率的几何意义 V 4、直纹面和可展曲面 (1)直纹面 V (2 )可展曲面 V 5、曲面论的基本定理 (1)曲面的基本定理和克里斯托斐耳 (Christoffel)符号 V (2)曲面的黎曼曲率张量和高斯一科达奇一迈因纳尔迪公式 V (3)曲面论的基本定理 V 6、曲面上的测地线 (1 )曲面上曲线的测地曲率 V (2 )曲面上的测地线 V (3 )曲面上的半测地坐标网 V (4 )曲面上测地线的短程性 V (5 )高斯一波涅公式 V (6 )曲面上向量的平行移动 V (7 )极小曲面 V 7、常咼斯曲率的曲面 (1)常咼斯曲率的曲面 V (2)伪球面 V (3 )罗氏几何 四、课程实施 4课时，共 4课时，共60课 《微分几何》是数学与应用数学(师范)专业的一门选修课。每周安排 时。函授生一般为 40课时。具体安排如下： 主要内容 课时建议 教与学的 方法建议 按60课时计 按40课时计 一、预备知识 8 6 二、曲线论 16 12 教师讲授 三、曲面论 32 18 四、总复习 2 2 五、机动 2 2 （二）教学组织形式与教学方法的要求 1、 教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。根据几何学种的特点，尽 可能使用多媒体教学手段。 2、 充分利用习题课课时，灵活地组织学生进行有利于培养学生发现问题，分析问题与解 决问题的能力的各种教学活动。 3、 评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生 对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情， 更好地培养学生的空间思维及几何直观想象能 力。 五、 教材编写与选用 本课程选用梅向明、黄敬元编写的由高等教育出版社出版的教材《微分几何》 （第二版） 六、 学习评价与考核 1、 这门课程的评价依据本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程的成绩 评定采用平时考核（30%）和期末考试（70% ）相结合的形式。 2、 考试时间：120分钟 3、 考试方法、分制与分数解释 采用闭卷、笔试的