微分在近似计算与误差估计中的应用.docx

微分在近似计算与误差估计中的应用 一、预备知识 1利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计 若一元函数y = f(x)在点xo可微，则 Ay=fJ (x0)Ax+ O(Ax)f 即 f(x0 +Ax)-f(x0) = f? (ko)Ax+O(Ax). 当|A x|很小时，有 f(x o+ A x) — f(Xo)~ f' (xo) A x 由dy|x=Ko 由dy|x=Ko=f? 则 要计算f(x)的值，可找一个邻近于 x的Xo,使f(Xo)与f ' (xo)易于计算，然后用x代 换⑴式中的Xo+A x，求得f(x)的近似值为f(Xo) + f ' (xo) Ax，其中A x=x — xo. 2?利用全微分进行近似计算与误差估计 若二元函数z = f(x , y)在点(Xo, yo)可微，则 A z= dz+ o( p ) =f' x(xo, yo) A x + f' y(xo, yo) A y + 0( p) 其中当P充分小时，有 A z~ dz = f ' x(Xo, yo)A x + f' y(Xo, yo)A y f(xo+ A x, yo+ A y)?f(Xo, yo) + f ' x(xo, yo) A x+ f ' x(xo, yo) A y(3) 若三元函数u = f(x , y, z)在点(Xo, yo, z°)可微，则 A u~ du = f ' x(xo, yo, Zo) A x + f' y(xo, yo, Z0)A y + f' x(Xo, yo, Zo) A z 或 f(Xo+ A x, yo+ A y, z°+A z)?f(x°, y°, z°) + f‘ 工知 为，引)△筈+ f‘ y(x0( y0(孔)Ay +「r 仗q,兀，30)az (4) 3.绝对误差、相对误差 如果某个量的精确值为儿它的近似值为亦称幌-綁是点绝对误差，并称 生J是乱的相对误差. 在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的， 于是绝对误差和相对误差也就 无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内，如果 某个量的精确值是 A，测得它的近似值是 a,又知道它的误差不超过 3 A，即 |A — a|w 3 A 称y测量昨对误细并称菁是测量址的相对误差限. 二、应用例题 例1求sin29 °的近似值. 解sin 29"是函数f(x) = sinxSx= 29fl吋的值.而sin 30"易于计第 则令盟° 兀 = 30" = y , x = x0 +As = 2?° , Ax= - f p —0.01 乃(弧度L 由公式(1)，有 例2证明：近似公式利用上面公式，则例3为了计算出球的体积准确到 超过多少？1 %,问度量球半径 例2证明：近似公式 利用上面公式，则 例3为了计算出球的体积准确到 超过多少？ 1 %,问度量球半径R时，所产生的相对误差应不 7T 511129° = an(— - 00175) 6 K 兀 a sin— + (cos —)(— 0.0175 6 6 43 =--—X 0 0175 2 V?=苕 + 1*2 + = 2.033, ￥ 3* 23 7100=圉-28~2 - 厂妄=1.938, 解设f仗）二存，由公式（从有 J1+舒1+命或冶+宀+為 =2 - 1.732X0.0175 2 2 =--0.0151? 0.485. 2 其中kl与誹目比时，XI为高阶穷小，并用此公式近似计算松与;W. 4 解球体积V二贝IJ 从而△VVHR3=3|1300Q OR%, 从而 △V V HR3 =3| 1 300 Q OR%, 所以度量球半径R时，所产生的相对误差不得超过 0.33%. 例4证明：根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数正弦对数表求 得的角度更为精确. 证明 设 y1(x) = Intanx, y2(x) = In si nx，则 16】鬥切H . tan Xjj Q兀鬥帆IG丄rii△讣 tan Hq 若对数表具有n位，则 sec2 x sec2 x0 tan |△引匾 O.5Xio-ft ||Ak2|<0.5X 10'nf —IX0.5XW-11 sec Xq 与 |Ax2|<|tanxo|XO.5XlO-n, 于是 |AxJ<|AXj|. 一般来说，根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数的正弦对数表求 得的角度更为精确. 例5求1.083.96的近似值. 解 设 f(x , y) = xy，令 Xo= 1, yo= 4, A x= 0.08, A y =— 0.04，由公式(3), 有 1.083.96= f(x 0+ A x, y°+A y) ?f(1 , 4) + f' x(1 , 4)X 0.08 + f ' y(1, 4) X (— 0