2000上海大同杯数学竞赛试题.pdfVIP

2000 年上海市初中数学竞赛试卷 7 70 一、填空题 （每小题 分，共 分） 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B 的底面边长均为3， C、D 的底面边长均为a，A、C 的高均为3，B、D 的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑 容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积 之和． 3 3 若n 的十进制表示为99…9 （共20位9），则n 的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB 5，BC 6，CA 7，H 为垂心，则AH 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x| mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000 到9999 中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2 的四位 数有 个． 3 50 11 16 12 16 13 18 二、简答题 （共 小题，共 分， 题 分， 题 分， 题 分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被 111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4 的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2 行和2 列，若无论怎么 划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论． （2）如果把上题中的“4×4 的方格纸”改成 “n×n 的方格纸 （n≥5）”，其他条件不变，那 么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD 是一个边长为1 的正方形，U、V 分别是AB、CD 上的点，AV 与DU 相交 于点P，BV 与CU 相交于点Q．求四边形PUQV 面积的最大值。 2000 年上海市初中数学竞赛试卷详解 7 70 一、填空题 （每小题 分，共 分） 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B 的底面边长均为3， C、D 的底面边长均为a，A、C 的高均为3，B、D 的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑 容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积 之和． 3 3 若n 的十进制表示为99…9 （共20位9），则n 的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB 5，BC 6，CA 7，H 为垂心，则AH 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x| mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000 到9999 中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2 的四位 数有 个． 解：∵千位数与个位数之差的绝对值为2， 可得 “数对”，分别是：（0，2），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（5，7），（6，8）， （7，9）， ∵ （0，2）只能是千位2，个位0， ∴一共 15种选择， ∴从1000 到9999 中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2 的四位 数有 15×8×7 840个． 故答案为：840． 3 50 11 16 12 16 13 18 二、简答题 （共 小题，共 分， 题 分， 题 分， 题 分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被 111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4 的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2 行和2 列，若无论怎么 划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论． （2）如果把上题中的“4×4 的方格纸”改成 “n×n 的方格纸 （n≥5）”，其他条件不变