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数 学 新课标（ XJ ） 八年级上册 本 章 总 结 提 升 本章知识框架 分 式 分式 的 概念 约分 分式的基 本性质 通分 乘除 分 式 运 算 分式方程的概念 分式方程的解法 分式方程的应用 乘方 加减 混 合 运 算 化 简 求 值 本章总结提升 整合拓展创新 类型之一 分式的相关概念 本章总结提升 例 1 (1) 当分式 x 2 x － 1 的值存在时， x 的取值范围是 ________ ； (2) 若分式 | x | － 2 x 2 － x － 2 的值为零，求 x 的值． [ 解析 ] (1) 要 使 分 式 有 意 义 ， 必 须 使 分 式 的 分 母 不 为 0 ， 即 2 x － 1 ≠ 0 ， 所 以 x ≠ 1 2 . (2) 要 使 分 式 的 值 为 0 ， 必 须 使 分 式 的 分 子 为 0 ， 且 分 式 的 分 母 不 为 0. 即 | x | － 2 ＝ 0 ， 且 x 2 － x － 2 ≠ 0. 本章总结提升 解： (1) 当 x ≠ 1 2 时 ， 分 式 x 2 x － 1 有 意 义 ． (2) 由 | x | － 2 ＝ 0 ， 得 x ＝ 2 或 － 2 ， 当 x ＝ 2 时 ， x 2 － x － 2 ＝ 0 ， 所 以 x ＝ － 2. [ 归纳总结 ] 分式值存在的条件是分母不为零，分式值为零 的条件是分子为零且分母不为零． 本章总结提升 [ 备选例题 ] x 为何值时，分式 1 1 ＋ 1 x － 1 的值存在？ [ 解析 ] 分 式 值 存 在 的 条 件 是 分 母 的 值 不 等 于 零 ， 分 式 的 分 母 是 (1 ＋ 1 x － 1 ) ， 故 要 求 1 ＋ 1 x － 1 ≠ 0 ， 而 (1 ＋ 1 x － 1 ) 中 又 含 分 式 1 x － 1 ， 此 分 式 也 必 须 有 意 义 ， 故 还 要 求 x － 1 ≠ 0. 本章总结提升 解 ： ∵ x － 1 ≠ 0 ， 1 ＋ 1 x － 1 ≠ 0 ， ∴ x ≠ 1 ， （ x － 1 ） ＋ 1 ≠ 0 ， 得 x ≠ 1 ， x ≠ 0. ∴ 当 x ≠ 1 且 x ≠ 0 时 ， 分 式 1 1 ＋ 1 x － 1 的 值 存 在 ． [ 归纳总结 ] 要使分式有意义，必须使分式的分母不等于零，从 而要解不等式组即可． 本章总结提升 类型之二 分式的运算 (1) 分式的加减运算 例 2 计算： 2 2 a ＋ 3 ＋ 2 a ＋ 15 4 a 2 － 9 ＋ 3 3 － 2 a . [ 解析 ] 异分母分式相加减，先通分化为同分母分式再加减． 解： 原 式 ＝ 2 2 a ＋ 3 ＋ 2 a ＋ 15 （ 2 a ＋ 3 ） （ 2 a － 3 ） － 3 2 a － 3 ＝ 2 （ 2 a － 3 ）＋（ 2 a ＋ 15 ）－ 3 （ 2 a ＋ 3 ） （ 2 a ＋ 3 ） （ 2 a － 3 ） ＝ 4 a － 6 ＋ 2 a ＋ 15 － 6 a － 9 （ 2 a ＋ 3 ） （ 2 a － 3 ） ＝ 0. 本章总结提升 [ 归纳总结 ] 进行分式加减运算时应注意： (1) 若分母能因式 分解的，均应先因式分解； (2) 通分前将各个分式的分子、 分母都按同一字母的降幂排列，这样确定最简公分母和通 分都会准确且简便些，但要注意应用符号变化法则，使分 子、分母的符号均为正号； (3) 若分子是多项式，通分时应 添加括号将分子括起来，作为一个整体，分子相加减时再 去括号，要防止符号出现错误． 本章总结提升 (2) 分式的乘除运算 [ 解析 ] 先把各个分式的分子、分母分解因式，再约分化简即可． 例 3 已 知 mn ＋ m － n 2 － n n 2 － 1 · m 2 － 1 m 2 ＋ m － mn － n ÷ m － 1 n － 1 是一个定值， 请求出这个定值． 解： 原 式 ＝ m （ n ＋ 1 ）－ n （ n ＋ 1 ） n 2 － 1 · m 2 － 1 m （ m ＋ 1 ）－ n （ m ＋ 1 ） · n － 1 m － 1 ＝ （ m － n ） （ n ＋ 1 ） （ n ＋ 1 ） （ n － 1 ） · （ m ＋ 1 ） （ m － 1 ） （ m － n ） （ m ＋ 1 ） · n － 1 m － 1 ＝ m － n n － 1 · m － 1 m