高等代数教案-第5章矩阵.docx

第五章矩 阵 教学目的： 掌握矩 的加法，乘法及数与矩 的乘法运算法 。及其基本性 ，并熟 地 矩 行运算。 了解几种特殊矩 的性 。 教学内容： 矩 的运算 矩 相等 我 将在一个数域上来 。令 F 是一个数域。用 F 的元素 aij 作成的一个 m 行 n 列矩 a11 a12 a1n A= a21 a22 a2 n am1 am 2 amn 叫做 F 上一个矩 。 A 也 作（ aij ）。 了指明 A 的行数和列数，有 也把它 作 Amn 或 （ aij ） mn。 一个 m 行 n 列矩 称 一个 m*n 矩 。特 ，把一个 n*n 矩 叫做一个 n 正方 ，或 n 矩 。 F 上两个矩 ，只有在它 有相同的行数和列数，并且 位置上的 元素都相等 ，才 上相等的。 以下提到矩 ，都指的是数域 F 上的矩 。 我 将引 三种运算：数与矩 的乘法，矩 的加法以及矩 的乘法。 先引入前两种运算。 矩 的 性运算 定 1 数域 F 的数 a 与 F 上一个 m*n 矩 A=(a ij ) 的乘法 （ aa ij ）  aA 指的是  m*n  矩 定 2 两个 m*n 矩 A=(a ij ) ， B=(b ij ) 的和 A+B 指的是 注意 ，我 只能把行数相同，列数相同的两个矩 相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 在回到一般的矩 。我 把元素全是零的矩 叫做零矩 ， 作 A=(a ij ) ，  m*n 矩 （ aij +bij ）。 0。如果矩 我 就把矩 （ - a ij ），叫做  A 的 矩 ， 作—  A。 矩 性运 的 律 A+B=B+A； (A+B)+C=A+(B+C) ； 0+A=A； A+(-A)=0 ； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ； 里 A,B 和 C 表示任意 m*n 矩 ，而 a 和 b 表示 F 中的任意数。 利用 矩 ，我 如下定 矩 的减法： A— B=A+（— B）。 于是有 A+B=C A=C— B。 由于数列是矩 的特例，以上运算 律 于数列也成立。 乘法 定 3 数域 F 上的 m*n 矩 A=(a ij ) 与 n*p 矩 B=(b ij m*p 矩 。 个矩 的第 I 行第 j 列（ I=1,2, ?， m; j=1,2, 行的元素与 B 的第 j 列的 元素的乘 的和：  )  的乘 AB 指的是 的一个 ? p） 的元素 c ij 等于 A 的第  I c ij =ai1 b1j +ai2 b2j+ ? +ain bnj 。 注意， 两个矩 只有当第一个矩 的列数等于第二个矩 的行数 才能相乘。 我 看一个例子 : 2 1 1 3 0 1 3 1 2 2 0 5 21 (1)2 0(5) 2(3) (1)1 00 = 31 12 (2)(5) 3(3) 11 (2)0 0 7 = . 15 8 矩 乘法的运算 律： 于数的乘法成立的运算 律， 于矩 的乘法 并不都成立。 得一提的是以下两点。 两个非零矩 的乘 肯是零矩 ，例如： 1 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 . 1 2 1 1 0 0 矩 的乘法不 足交 律。首先，当 p m A mnBnp 有意 ，但 Bnp Amn没有意 。其次， A B 和 B A 然有意 ，但是当 m n ， 一个乘 是 m 矩 而第二个是 n 矩 ，它 mn np nm mn 不相等。最后， A B 和 B A 然都是 n 矩 ，但它 也未必相等。 例如 nn nn nn nn 1 2 2 3 8 1 2 1 3 1 7 . 5 2 3 1 2 4 1 . 3 1 2 1 5 7 但是距 乘法 足 合律 : (AB)C=A(BC) 事 上 , 可以假定 A=(a ij ) mn,B=(b ij ) np, C=(c ij ) pq, 那么 (AB)C 和 A(BC) 都是 m*n 距 , 我 来 明它 的 元素相等 , 令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距 乘法知 , uil n p = k 1 aik bkl , vkj l 1 bkl clj , 因此 (AB)C=UC的第 I 行第 j 列的元素是 p p n (1) uil clj l 1 ( k 1 aik bki )cij l 1 p n aik bkl clj . l 1 k 1 另一方面 , A(BC)=AV 的第 I 行第 j 列的元素是 n n p (2) k 1