1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案.pdf

1957 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1 2 1．甲、化简 (2 7 ) 2 0. 1 2 (2 10 ) 3 9 27 1 2 25 2 1 2 64 3 5 9 11 解：原式 =( ) ( ) ( ) 100 102 . 9 10 27 3 16 48 乙、求适合不等式 x 2 x 2 的实数 x 的范围 解：原式为 x 2 x 2 0解为： -2x1. 故 x 的范围为 -2x1. 丙、求证 ctg 22 30 1 2 . 45 1 cos45 证： ctg22 30 ctg 1 2. 2 sin 45 丁、在四面体 ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S 依次为棱 AB、BC、CD、 A DA的中点，求证：PQRS为一个菱形 S P 证：由于点 P、Q、R、S 依次为棱 D AB、BC、CD、DA的中点，根据三角 R C B 形两边中点连线的性质可得 Q 1 PQ // RS// AC , RQ // SP// BD . 2 而由题设， AC=BD， ∴PQ=QR=RS=SP， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设 a, b 为异面直线， EF为 a, b M E a 的公垂线， 为过 EF 的中点且 B A 与 a ,b 平行的平面， M为 a 上任一 D 点，N为 b 上任一点 求证线段 MN C b 被平面 二等分 N F 证：过直线 b 作平面 // （如图） 过直线 a 及公垂线 EF作一平面，在此平面内作 MC∥EF，且与平面 ， 分别交于 B、C两点 设 EF、MN分别与平面 交于点 A、D ∵点 A 是 EF 的中点， 又 ME∥BA∥CF， ∴点 B 是 MC的中点 又∵ DB∥NC， ∴D是 MN的中点 M