1959年普通高等学校招生全国统一考试数学试题.pdf

1959年试题 试卷上不必抄题 ,但须写明题号 ,例如 Ⅰ(1) 、Ⅰ(2) 、Ⅱ、Ⅲ等 . 一 、(1) 已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35. (注)lg 是以 10为底的对数的符号 . 2 (3)解不等式 :2x +5x3. (4求cos165°的值 . (5)一直圆台上底的面积为 25 π平方厘米 ,下底的直径为 20厘米 ,母线长为 10厘米 .求这直圆台 的侧面积 . (6)有三条不在同一平面内的平行线 a、b和c.在线a上取一固定线段 AB, 在线 c、 b上各任取一 点C和D.求证 :不论 C和D取在 c、b的什么位置上 , 四面体ABCD 的体积总是不变的 . [Key] (3)解法一 : 2 2x +5x3, 移项 ,得 2 2x +5x-30, (2x-1)(x+3)0. 因为两个数的积是负数 ,必须并且只须这两个数中一个是正数 ,一个是负数 ,所以从这个不等 式可以得出下面两个不等式组 : 解法二 : 2 2x +5x3, 移项 ,得 2 2x +5x-30, 不等式两边都乘以 -1,得 2 -2x -5x+30 △=(-5)2-4 ·(-2) ·30, 2 (5) 圆台侧面积 S= πL(R+r), 其中 L为母线 ,r 、R分别为上 , 下底的半径 .上底面积 = πr =25 π ∴r=5(厘米 ) 下底半径 R=20/2(厘米 )=10(厘米 ) 母线 l =10(厘米 ) ∴ 这圆台侧面积 S= πL(R+r) = π ·10 ·(10+5) 2 =150 π(厘米 ) (6)△ABD 当四面体 ABCD 的底(如图 )作底上的高 CO. ∵ a∥b ∴ 无论 D在b上什么位置 , △ABD 的面积总不变 . ∵ a∥b∴a,b决定一平面 . ∵ c ∥a,c∥b. ∴ c平行于 a,b所决定的平面 . ∴ 无论 C点在 c的什么位置 ,高CO的高度总不变 . 因之,无论C,D在 c,b上什么位置 ,其体积总不变 二、三个数成等差数列 ,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍 ;如果第二个数减去 2(仍当 作第二项 ),三个数就成等比数列 .求原来的三个数 . [Key] 二、 设成等差数列的三个数是 x-y 、x 、x+y,依据题中条件 , 化简 (1)和(2),得: 将(3)代入 (4),得: 2 y -5y+4=0, (y-1)(y-4)=0 1 2 故 y =1,y =4 [Key] 三、 设AB 及 BC两边之长为 x及y,则有 x2 +y2-2xycos60°=42 代入 cos60°及sin60°的值 ,得到 : 2 2 x +y -xy=16 xy=4 2 2 化简 ,得到 : x +y =20 (1) 2xy=8 (2) 2 (1)+(2),得: (x+y) =28, (3) 2 (1)-(2),得 : (x-y) =12 (4) 四、A 、B、C是直线 L上三点 ,P是这直线外一点 . 已知AB=BC=a, ∠APB=90 °,∠BPC=45°.试求 :(1)∠PBA 的正弦、余弦、正切 ;(2)线段 PB的长;(3)P点到直线 L 的距离 . [Key] 四、解法一 :令∠ PBA= θ 由△APB 知 x=acos θ, (1) 代(1),(4)入 (3),得 五、 延长圆 O的两弦 AB 、CD交于圆外