【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二_含答案.docx

1.4.2  正弦函数、余弦函数的性质(二) 学习目标 1.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 最值 .2.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小 .3.会求函数 y＝ Asin(ω x＋φ )及 y＝Acos(ω x＋φ )的单调区间. 知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线： 余弦曲线： 可得如下性质： 由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R，值域都是[－1， 1]. 对于正弦函数 y＝sin x，x∈R 有： π 当且仅当 x＝ ＋2kπ ，k∈Z 时，取得最大值 1； 2 π 当且仅当 x＝－ ＋2kπ ，k∈Z 时，取得最小值－1. 2 对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有： 当且仅当 x＝2kπ ，k∈Z 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝(2k＋1)π ，k∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 π 3π 观察正弦函数 y＝sin x，x∈[－ ， ]的图象. 2 2 ? π π ?? π π ??π3π ?? ? π π ? ? π π ? ?π 3π ? ? π π ? 3π ? π 3π 思考 1 正弦函数在[－ ， ]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 2 2 答案 观察图象可知： 当 x∈?－ ， ? ? 2 2 ?  时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1 增大到 1； ?π 3π ? 当 x∈? ， ? ?2 2 ?  时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由 1 减小到－1. 推广到整个定义域可得 当 x∈?－ ＋2kπ ， ＋2kπ ? ? 2 2 ? 到 1；  (k∈Z)时，正弦函数 y＝sin x 是增函数，函数值由－1 增大 当 x∈? ?2  ＋2kπ ， ＋2kπ ? 2 ?  (k∈Z)时，正弦函数 y＝sin x 是减函数，函数值由 1 减小到 －1. 观察余弦函数 y＝cos x，x∈[－π ，π ]的图象. 思考 2 余弦函数在[－π ，π ]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知： 当 x∈[－π ，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1 增大到 1； 当 x∈[0，π ]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由 1 减小到－1. 推广到整个定义域可得 当 x∈[2kπ －π ，2kπ ]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是增函数，函数值由－1 增大到 1； 当 x∈[2kπ ，(2k＋1)π ]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是减函数，函数值由 1 减小到－1. 思考 3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？ 答 案  y ＝ sin x 的 增 区 间 为 ?－ ＋2kπ ， ＋2kπ ?， k∈Z ， 减 区 间 为 ? 2 2 ? ?π ? ?2  ＋2kπ ， ＋2kπ ? 2 ?  ，k∈Z. y＝cos x 的增区间为[－π ＋2kπ ，2kπ ]，k∈Z，减区间为[2kπ ，π ＋2kπ ]，k∈Z. ? π π ??π 3π ?22? －x??π ?y ? π π ? ?π 3π ? 2 2 ? －x? ?π ? y ? －x? ＝ ?x－ ? －x? ?π ? ?2kπ ＋ ， kπ ＋ ? 梳理 解析式  y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 单调性 最值  在?－ ＋2kπ ， ＋2kπ ?，k∈Z 上递增， ? 2 2 ? 在? ＋2kπ ， ＋2kπ ?，k∈Z 上递减 ?2 2 ? π 当 x＝ ＋2kπ ，k∈Z 时，y ＝1；当 x max π ＝－ ＋2kπ ，k∈Z 时，y ＝－1 min  在[－π ＋2kπ ，2kπ ]， k∈Z 上递增， 在[2kπ ，π ＋2kπ ]，k∈Z 上递减 当 x＝2kπ ，k∈Z 时，y max ＝1；当 x＝π ＋2kπ ，k∈Z 时，y ＝－1 min 类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例 1 求函数 y＝2sin ?4 ?  的单调递增区间. 解  ?π ? ? π ? ＝2sin －2sin ?4 ? ? 4 ?  ， π 令 z＝x－ ， 4 则 y＝－2sin z. 因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y＝－2sin z 的单调递增区间，即求 sin z 的单调递减区 π 3π 间，即 2kπ ＋ ≤z≤2kπ ＋ (k∈Z). 2 2 π π 3π ∴2kπ ＋ ≤x－ ≤2kπ ＋ (k∈Z)， 2 4 2 3π 7π 即 2kπ ＋ ≤x