《点到直线的距离》教学设计[001]高品质版.docx

《点到直线的距离》教学设计 新人教版高二第二册（上）第七章第三节第 4 小节 浮山中学数学组 李善飞 【教材分析】 ⒈教材的地位和作用 “点到直线的距离”是高中课本第二册（上册）第七章第三节“直线”的最 后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。 在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。 ⒉教材的内容安排和处理 教参安排“点到直线的距离”这部分内容的授课时间为 2 个课时。 第一课时：侧重于公式的推导及记忆。 第二课时：侧重于公式的应用。 本节为第一课时。 【教学目的】 1、知识目标： 掌握点到直线距离的公式的推导及其运用； 2、能力目标：培养学生观察、 思考、分析、归纳等数学能力， 数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力； 3、德育目标： 引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。 【教学重点】 公式的推导及其结论以及简单的应用。 【教学难点】 发现点到直线距离公式的推导方法。 【教学方法】 启导法、讨论法。 【教学过程】 一、创设情景 给出定义 师：同学们到学校要到公路上乘车，怎么走到村边的公路上，才使所走的路最短？ 生：垂直于公路走最短。 [ 板书 ] 点到直线的距离 二、提出问题 初探思路 “求点 P（-1 ， 2）到直线 l ：2x+y-10=0 的距离。” 提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点 P 的 l 的垂线 l 的方程；再联立 l 、 l 求垂足 Q，最后用两点间距离公式求│ PQ│。 [ 使学生巩固已学过的知识和方法，同时也为问题二的解决作铺垫。 ] 三、自主探索 推导公式 已知点 P(x0，y0)，直线 l ： Ax+By+C=0 ，求点 P 到直线 l 的距离． 怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足 Q，求线段 PQ 的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于 x 轴和 y 轴的特殊情况．学生解决． l l 板书： 当A 0时， l : By C 0, PQ y0 yQ y0 C By0 C B B 当B 0时， l : Ax C 0, PQ x0 xQ x0 C Ax0 C A A 当 AB 0时，如何求 PQ ？ y 学生思考回答下列想法： P (x0 ,y0) 思路一 ： [ 学生类比问题一，容易有思路 ]过 P作 PQ l 于 Q 点，根据点斜式写出直线 PQ 方程，由 O x PQ 与 l 联立方程组解得 Q 点坐标，然后利用两点距 离公式求得． 教师继续提出问题： (1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？ (3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？ 学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中． [老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 角形 。] ．． 思路二 ：过 P 点做 x,y 轴的平行线与直线 l 的交点 R、S．在直角△ PQR,或直角△ PQS 中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况） ,用余弦值． 思路三 ：在直角△ PRS 中，求线段 PR、PS、 RS，利用等面积法（不涉及角和分情况） ，求得线段 PQ 长．学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程． （思路一）解：直线 PQ ： y y0 B x x0 , x x0 ，即 Bx Ay Bx 0 Ay0 A 由 Bx Ay Bx0 Ay0 ， xQ B 2 x0 ABy 0 AC Ax By C 0 A2 B 2 xQ x0 B 2 x0 ABy 0 AC A2 x0 B2 x0 A Ax0 By 0 C A2 B2 A2 B2 yQ y0 B x x0 B Ax0 By0 C A A2 B 2 d xQ x0 2 yQ y0 2 1 A 2 B 2 Ax0 By 0 C Ax0 By0 C A2 B2 A2 B2 （思路二）解：在 Rt△PSQ 中，已知 |PS|、θ ，要求 PQ ，只需求