人教版选修2 3131二项式定理.ppt

制作 朱春梅 学习目标 1. 能从计数原理证明二项式定理； 2. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式； 3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数” 等概念 重点难点 1. 重点是二项式定理和二项展开式的通项公式； 2. 难点是二项式定理的推导和通项公式的应用 预习导航 1. 积 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n ?? b 1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b n ? 展开后 ? a ? b ? 的展开式 . n 有多少项？ 2. 在 n=1,2,3 时，写出 1 ? a ? b ? ? a ? b 2 2 2 ? a ? b ? ? a ? 2 ab ? b 3 3 2 3 ? a ? b ? ? a ? 3 a b ? 3 ab ? b 3. 二项式定理是研究什么的？ 4. ? a ? b ? n 的展开式是什么 ? 探究 ? a ? b ? n 的展开式 2 2 2 a ? 2 ab ? b ( a ? b ) ? ? 3 2 ( a ? b ) ? ? ( a ? b ) ( a ? b ) ? ? ( a ? b ) ? ? ( a ? b ) ( a ? b ) ? ? 4 3 ( a ? b ) ( a ? b ) ? ? … … 100 ? ? 结论： 次数 : 各项的次数等于二项式的次数 项数 : 次数 +1 n 合作探究 4 (a+b) ＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) ＝？ 问题： 1) (a+b) 4 展开后各项形式分别是什么？ 4 a 3 2 2 a b a b 3 4 ab b 2) 各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出 现的次数 3) 你能分析说明各项前的系数吗？ (a+b) 4 ＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) ＝？ 4 a 3 2 2 a b a b 3 4 ab b 这五项的系数为各项在展开式中出现的次数 . 考虑 b ： 每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C 4 0 , 则 a 4 前的系数为 C 4 0 恰有 1 个取 b 的情况有 C 4 1 种，则 a 3 b 前的系数为 C 4 1 恰有 2 个取 b 的情况有 C 4 2 种，则 a 2 b 2 前的系数为 C 4 2 恰有 3 个取 b 的情况有 C 4 3 种，则 ab 3 前的系数为 C 4 3 恰有 4 个取 b 的情况有 C 4 4 种，则 b 4 前的系数为 C 4 4 则 (a+b) 4 ＝ C 4 0 a 4 ＋ C 4 1 a 3 b ＋ C 4 2 a 2 b 2 ＋ C 4 3 ab 3 ＋ C 4 4 b 4 n (a+b) 的展开式是： n ( a + b ) = C a + C a b + C a b + ? +C a b n-1 1 n n-1 0 n n 1 n n-1 2 n n-2 2 + C b n n n 二项定理 : 一般地，对于 n N* ? 有 ( a ? b ) ? C a ? C a ? ? C a r n n 0 n n 1 n n ? 1 b ? C a r 2 n n ? 2 b ? n 2 n ? r b ? ? ? C b n n 定理的证明 n (a+b) 是 n 个 (a+b) 相乘， 每个（ a+b ）在相乘时有两 种选择，选 a 或 b. 而且每个 (a+b) 中的 a 或 b 选定后才 能得到展开式的一项 由分步计数原理可知展开式共有 2 n 项 （包括同类项）， 其中每一项都是 a k b n-k 的形式， k=0 ， 1 ， … ， n ； 对于每一项 a k b n-k ，它是由 k 个 (a+b) 选了 a ， n-k 个 (a+b) 选了 b 得到的，它出现的次数相当于从 n 个 (a+b) 中取 k 个 a 的组合数，将它们合并同类项，就得二项 展开式，这就是二项式定理 二项式定理： n ∈ N n 0 n n * (a + b) = C a + C a b + C a r n n-r r 1 n n-1 2 n n-2 b + n 2 ? + C a b + ? + C b 注 :(1) 上式右边为二项展开式 , 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的 项数为 n+1 项； (3) 字母 a 按降幂排列 , 次数由 n 递减到 0 ； 字母 b 按升幂排列 , 次数由 0 递增到 n (4) 二项式系数可写成组合数的形式 , 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由 0 递增到 n n n 二项式定理： n ∈ N n 0 n n