解题技巧专题练习：共顶点的等腰三角形(含答案解析).pdf

解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 —— 形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知 △ABC 和△ DBE 均为等腰直角三角形． (1)求证： AD ＝CE； (2)猜想： AD 和 CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不 用写理由． 2．如图，在 △ABC 和 △ BCD 中，∠ BAC ＝∠ BCD ＝90 °，AB ＝AC ，CB ＝CD ，延长 CA 至点 E ，使 AE ＝AC ，延长 CB 至点 F，使 BF ＝BC.连接 BD ，AD ，AF ，DF ，EF.延长 DB 交 EF 于点 N.求证： (1)AF ＝AD ； (2)EF ＝BD . 第 1 页 共 3 页 ◆类型二 共顶点的等边三角形 3．如图， △APB 与 △CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA ⊥PD ，有下列四个结论： ①∠ PBC ＝15°；② AD ∥BC ；③直线 PC 与 AB 垂直．其中正确的有 ( ) A ．0 个 B ． 1 个 C ．2 个 D ．3 个 第 3 题图 第 4 题图 4 ．如图，在 △ABC 中，分别以 AC ，BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE ， 连接 AE ，BD ，交于点 O ，则∠ AOB 的度数为 ________ ． 5．如图①，等边 △ABC 中， D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 △ EDC ， 连接 AE. (1)△ DBC 和△ EAC 全等吗？请说明理由； (2)试说明 AE ∥BC 的理由； (3)如图②，将 (1) 中动点 D 运动到边 BA 的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有 AE ∥BC ？证明你的猜想． 第 2 页 共 3 页 参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ ABC 和 △ DBE 均为等腰直角三角形，∴ AB ＝BC ，BD ＝BE，∠ ABC ＝ ∠DBE ＝ 90°， ∴∠ABC － ∠DBC ＝ ∠DBE － ∠DBC ， 即 ∠ABD ＝ ∠CBE ， ∴△ ABD ≌△ CBE ，∴ AD ＝CE . (2)解：垂直．理由如下：延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F .由(1) 知 △ABD ≌△ CBE ， ∴∠ BAD ＝∠ BCE . ∵∠ BAD ＋∠ ABC ＋∠ BGA ＝∠ BCE ＋∠ AFC ＋∠ CGF ＝180°，∠ BGA ＝ ∠CGF ，∴∠ AFC ＝∠ ABC ＝90°，∴AD ⊥CE. 2．证明：(1) ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90 °，∴∠ABC ＝∠ ACB ＝45 °，∴∠ABF ＝180 °－∠ABC ＝ 135°，∠ ACD ＝∠ ACB ＋∠ BCD ＝ 135°，∴∠ ABF ＝∠ ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝ BF ，∴ BF ＝CD ，∴△ ABF ≌△ ACD (SAS) ，∴AF ＝AD . (2) 由(1)知 △ABF ≌△ ACD ，AF ＝AD ，∴∠ FAB ＝∠ DAC .∵∠ BAC ＝∠ BAD ＋∠ DAC ＝ 90 °，∠ EAB ＝∠ EAF ＋∠ FAB ＝90 °，∴∠ EAF ＝∠ BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴ AE ＝AB ， ∴△ AEF ≌△ABD (SAS) ，∴ EF ＝BD . 3．D 4 ．120 ° 解析： 设 AC 与 BD 交于点 H.∵△ACD ，△ BCE 都是等边三角形， ∴CD ＝CA， CB ＝CE，∠ACD ＝∠