第8章一些特殊的图.ppt

xx xx 第8章 一些特殊的图 8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图 * xx 2021-1-20 8.1 二部图 二部图 完全二部图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配 * xx 2021-1-20 二部图 定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1?V2=V, V1?V2=?), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图. * xx 2021-1-20 二部图的判别法 定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 例 下述各图都是二部图 * xx 2021-1-20 匹配 设G=<V,E>, 匹配(边独立集): 任2条边均不相邻的边子集 极大匹配: 添加任一条边后都不再是匹配的匹配 最大匹配: 边数最多的匹配 匹配数: 最大匹配中的边数, 记为?1 例 下述3个图的匹配数 依次为3, 3, 4. * xx 2021-1-20 匹配 (续) 设M为G中一个匹配 vi与vj被M匹配: (vi,vj)?M v为M饱和点: M中有边与v关联 v为M非饱和点: M中没有边与v关联 M为完美匹配: G的每个顶点都是M饱和点 例 关于M1, a,b,e,d是饱和点 f,c是非饱和点 M1不是完美匹配 M2是完美匹配 M1 M2 * xx 2021-1-20 二部图中的匹配 定义 设G=<V1,V2,E>为二部图, |V1|?|V2|, M是G中最 大匹配, 若V1中顶点全是M饱和点, 则称M为G中V1 到V2的完备匹配. 当|V1|=|V2|时, 完备匹配变成完美 匹配. (1) (2) (3) 例 图中红边组成各图的一个匹配，(1)为完备的, 但不是完 美的; (2)不是完备的, 其实(2)中无完备匹配; (3) 是完美的. * xx 2021-1-20 Hall定理 定理(Hall定理) 设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|?|V2|. G中存 在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k 个顶点至少与V2 中的k个顶点相邻(k=1,2,…,|V1|). 由Hall定理不难证明, 上一页图(2)没有完备匹配. 定理 设二部图G=<V1,V2,E>中, 如果存在t?1, 使得V1中每个 顶点至少关联 t 条边, 而V2中每个顶点至多关联t条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配. Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定理中的条件 称为 t 条件. 满足 t 条件的二部图一定满足相异性条件. * xx 2021-1-20 一个应用实例 例 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都 表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？ 解 令G=<V1,V2,E>, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | u?V1, v?V2, v想去u}, 其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示. G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案). * xx 2021-1-20 8.2 欧拉图 欧拉通路 欧拉回路 欧拉图 半欧拉图 * xx 2021-1-20 哥尼斯堡七桥问题 欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路. * xx 2021-1-20 欧拉图 欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性. * xx 2021-1-20 欧拉图(续) 例 图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3)，(6)既不 是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图? * xx 2021-1-20 欧拉图的判别法 定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向