20172018学年高中数学必修四教学案31份北师大版30实用教案.docx

．平面向量的基本概念 平面向量 既有大小，又有方向的量 向量的模 表示向量的有向线段的长度 零向量 长度为的向量 单位向量 长度为的向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 共线向量 表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合的两个向量 . 向量的线性运算 () 向量的加法、 减法和实数与向量的积的综合运算， 通常叫作向量的线性运算 ( 或线性组合 ) ． () 向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，其中向量求和的三角形法则可推广 至多个向量求和的多边形法则，即：个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个向量的 起点重合，组成一向量折线，这个向量的和等于折线起点到终点的向量，即 () 向量的加法满足交换律与结合律，即 ＋＝＋ (交换律 )； (＋)＋＝＋ (＋)( 结合律 )． () 求两个向量差的运算叫作向量的减法， 作向量 ＝， ＝，则－＝ － ＝ ，即： 如果把向量与的起点放在点，那么从向量的终点指向被减向量的终点，得到的向量 就是－ . () 一般地，实数 λ 与向量 λ 的积是一个向量，记作 λ ，所以它既有大小又有方向． ①大小 ( 长度 ) ： λ ＝ λ · . ②方向：当 λ >时， λ与的方向相同； 当 λ <时， λ与的方向相反； 当 λ ＝时， λ ＝，方向任意． () 实数与向量的积的运算满足： ①结合律： λ ( μ ) ＝ ( λ μ ). ②分配律： ( λ ＋ μ ) ＝ λ ＋ μ ；λ ( ＋ ) ＝λ ＋ λ . ．向量共线 ( 平行 ) 的判定与性质 判定定理 性质定理 是一个非零向量，若存在一个实数 λ ，使得 若向量与非零向量共线， 则存在一个实数 λ， ＝ λ ，则向量与共线 ( 平行 ) 使得＝ λ 该两定理可简单归结为：∥ ( ≠ ) ? ＝ λ( λ ∈) ，判定定理是判定两向量共线的重要依据， 性质定理是根据向量共线建立方程的依据． ．平面向量基本定理 平面向量基本定理也叫共面向量定理，即对于不共线的非零向量， ，，若存在一对实数， ，使 ＝＋，则向量， ，共面；反之，若向量， ，共面，则存在唯一一对实数， ，使＝＋ . 若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可与之建立联系，以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的 联系，如证明三点， ，共线，通常是先把 AB ， AC 用基底表示出来，再由平行向量定理来加以 判定． ．平面向量的坐标表示 () 在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量，作为基底，为坐标平面 内的任意向量，以坐标原点为起点作 OP ＝，则 OP ＝＋＝，称实数对 ( ， ) 是向量的坐标，可知 点的坐标即为的坐标． () 向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具， 它是转化思想、 函数与方程、 分类讨论、 数形结合等思想方法的具体体现． 通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、 向量的模、 夹角， 判断共线、 平行、 垂直等问题． ．平面向量的数量积 () 向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量． () 数量积的性质和运算律是进行数量积运算的依据．通过这些性质可以计算向量的长度 ( 模 ) 、平面内两点间的距离、两个平面向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直等． () 已知非零向量＝ ( ，) ，＝ ( ， ) ，则有 数量积 ·＝ θ ·＝＋ 向量的模 ＝＝ ＝ 两向量平行的等价条件 ∥ ? ＝λ ∥? －＝ 两向量垂直的等价条件 ⊥ ? ·＝ ⊥? ＋＝ 两向量的夹角公式 θ ＝ θ ＝ [ 典例 ] 已知△中， 延长到， 使＝，是将分成∶的一个分点， 和交于， 设 OA ＝，OB ＝ ( 如 图 ) ， () 用，表示向量 ； () 若 ，求实数 λ 的值． [ 解] () ∵为的中点， 即( λ － ) ＋＝ . ∴( λ ＋－ ) ＋＝， ∵，不共线， ∴(\\(  λ ＋－＝，－  ()  ＝， ))  解得 λ ＝ . [ 借题发挥  ]  . 向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解 和运用要注意大小、方向两个方面． ．理解向量的有关概念 ( 如相等与相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等 ) ，用基底 表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础． ．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析 判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧． [ 对点训练 ] .  已知 ?的两条对角线与交于，是任意一点．求证：  ＋  . 证明：因为是对角线和的交点， [ 典 例 ] ( 江苏高考 ) 已知＝ ( α ， α ) ，＝ ( β ， β )