《高数教学课件》第二节 微积分基本公式.pptVIP

二、积分上限函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五章 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限函数及其导数 由于上限x在区间[a, b]上任意取值时,总有唯一确定的数值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 积分上限函数的概念 2. 积分上限函数的性质 则变上限函数 证 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 若 定理1 证明了连续函数的原函数是存在的. 推论1 变限积分求导: 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 计算 解 原式 说明 目录 上页 下页 返回 结束 例9 求下列函数的导数: 解 例10 证明 在 内为单调递增函数. 证 只要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习1 求 解 原式 说明 目录 上页 下页 返回 结束 练习2 确定常数 a , b , c 的值, 使 解 原式= c ≠0 , 故 又由 , 得 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 根据定理1, 故 因此 得 定理2 函数, 则 例11 计算 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13 计算 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 例15 设 求 定积分为常数, 设 , 则 故应用积分法定此常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例16 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且为最小点. 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 则有 1. 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 -3 -2 2 3 0