导数公式的证明基础.docx

. 导数的定义： f'(x)=lim y/ x 用定义求导数公式 （1）f(x)=x n 求： f'(x) '. . （2）f(x)=sinx 求： f'(x) （3）f(x)=cosx 求： f'(x) '. . （4）f(x)=a x 求： f'(x) （5）f(x)=log a x '. . 6）f(x)=tanx f'(x) =lim (tan(x+ x)-tanx)/ x =lim (sin(x+ x)/cos(x+ x)-sinx/cosx)/ x =lim (sin(x+ x)cosx-sinxcos(x+ x)/( xcosxcos(x+ x)) =lim (sinxcos xcosx+sin xcosxcosx-sinxcosxcos x+sinxsinxsin x)/( xcosxcos(x+ x)) =lim sin x/( xcosxcos(x+ x)) '. . =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2 7）f(x)=cotx f'(x) =lim (cot(x+ x)-cotx)/ x =lim (cos(x+ x)/sin(x+ x)-cosx/sinx)/ x =lim (cos(x+ x)sinx-cosxsin(x+ x))/( xsinxsin(x+ x)) =lim (cosxcos xsinx-sinxsinxsin x-cosxsinxcos x-cosxsin xcosx)/( xsinxsin(x+ x)) =lim -sin x/( xsinxsin(x+ x)) =-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2 8）f(x)=secx f'(x) =lim (sec(x+ x)-secx)/ x =lim (1/cos(x+ x)-1/cosx)/ x '. . =lim (cosx-cos(x+ x)/( xcosxcos x) =lim (cosx-cosxcos x+sinxsin x)/( xcosxcos(x+ x)) =lim sinxsin x/( xcosxcos(x+ x)) =sinx/(cosx)^2=tanx*secx 9）f(x)=cscx f'(x) =lim (csc(x+ x)-cscx)/ x =lim (1/sin(x+ x)-1/sinx)/ x =lim (sinx-sin(x+ x))/( xsinxsin(x+ x)) =lim (sinx-sinxcos x-sin xcosx)/( xsinxsin(x+ x)) =lim -sin xcosx/( xsinxsin(x+ x)) =-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx 10 ）f(x)=x^x '. . lnf(x)=xlnx (lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x) f'(x)=(lnx+1)*x^x 12 ）h(x)=f(x)g(x) h'(x) =lim (f(x+ x)g(x+ x)-f(x)g(x))/ x =lim [(f(x+ x)-f(x)+f(x))*g(x+ x)+(g(x+ x)-g(x)-g(x+ x))*f(x)]/ x =lim [(f(x+ x)-f(x))*g(x+ x)+(g(x+ x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ x)-f(x)*g(x+ x)]/ x =lim (f(x+ x)-f(x))*g(x+ x)/ x+(g(x+ x)-g(x))*f(x)/ x =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) '. . 13 ）h(x)=f(x)/g(x) h'(x) =lim (f(x+ x)/g(x+ x)-f(x)g(x))/ x =lim (f(x+ x)g(x)-f(x)g(x+ x))/( xg(x)g(x+ x)) =lim [(f(x+ x)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+ x)-g(x)+g(x))*f(x)]/( xg(x)g(x+ x)) =lim [(f(x+ x)-f(x))*g(x)-(g(x+ x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/( xg(x)g(x+ x)) =lim (f(x+ x)-f(x))*g(x)/( xg(x)g(x+ x))-(g(x+ x)-g(x))*f(x)/( xg(x)g(x+ x)) =f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)) =[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x 14 ）