2018届高中数学新人教B版(理科数学)圆锥曲线的综合问题单元测试Word版含答案.pdfVIP

第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 ( 限时 :45 分钟) 【选题明细表】 知识点、方法 题号 最值、范围问题 1,3 定点、定值问题 2,4 轨迹、探索性问题 2,4 1.(2017 ·湖南邵阳二模 ) 已知右焦点为 F2 (c,0) 的椭圆 C: + =1 (a>b>0) 过点 (1, ), 且椭圆 C关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 过点 ( ,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于 E,F 两点 , 线段 EF 的中点为 M, 点 A 是椭圆 C 的右顶点 , 求直线 MA的斜率 k 的取值范围 . 解 :(1) 因为椭圆 C 过点 (1, ), 所以 + =1, ① 因为椭圆 C关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 , 所以 a=2c, 2 2 所以 b = a , ② 由①②得 a=2,b= , 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2) 依题意 , 直线 l 过点 ( ,0) 且斜率不为零 , 故可设其方程为 x=my+ , 2 2 与椭圆 C 的方程联立方程组消去 x, 整理得 4(3m +4)y +12my-45=0, 设 E(x1 ,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0 ,y 0), 所以 y1 +y2 =- , 0 0 所以 y =- ,x = , 所以 k= , ①当 m=0时,k=0; ②当 m≠0 时,k= , 因为 |4m+ |=4|m|+ ≥8, 所以 0<|k| ≤ , 所以 - ≤k≤ 且 k≠0. 综合①②可知直线 MA的斜率 k 的取值范围是 - ≤k≤ . 2.(2017 ·山西太原三模 ) 已知动点 C 到点 F(1,0) 的距离比到直线 x=-2 的距离小 1, 动点 C 的轨迹为 E. (1) 求曲线 E 的方程 ; (2) 若直线 l:y=kx+m(km<0) 与曲线 E 相交于 A,B 两个不同点 , 且 · =5, 证明 : 直线 l 经过一个定点 . (1) 解: 由题意可得动点 C到点 F(1,0) 的距离等于到直线 x=-1 的距离 , 所以曲线 E 是以点 (1,0) 为焦点 , 直线 x=-1 为准线的抛物线 , 2 设其方程为 y =2px(p>0), 所以 =1, 所以 p=2, 2 所以动点 C 的轨迹 E 的方程为 y =4x. (2) 证明 : 设 A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2), 由 得 2 2 2 k