313空间向量的数量积运算第一课时.ppt

3.1.3 空间向量的数量积运算 一、引入 1. 共线向量定理： r r r r r r 空间中任意两个向量 a , b ( b ? 0) 共线 ( a P b ) r r 的充要条件是存在实数 ? ， 使得 a ? ? b 2. 共线向量定理的推论： u u u r u u u r r 点 P 在直线 l 上 ? OP ? OA ? ta (2) 三点 P 、 A 、 B 共线的充要条件有： u u u r u u u r u u u r u u u r （ 1 ）存在实数 t ，使得 AP ? t AB ， 即 AP P AB u u u r u u u r u u u r （ 2 ）存在实数 t ，使得 OP ? OA ? t AB u u u r u u u r u u u r 另：存在实数 x ， y ，使得 OP ? xOA ? yOB ,( x ? y ? 1) r (1) 若直线 l 过点 A 且与向量 a 平行，则 3. 共面向量定理： r r u r r r 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 那么向量 p 与 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ( x ， y ) ， u r r r 使得 p ? xa ? y b . u u u r u u u r u u u r （ 1 ）存在有序实数对 ( x , y ) ，使得 AP ? xAB ? yAC u u u r u u u r u u u r u u u r （ 2 ）对空间中任意一点 O ，有 OP ? OA ? xAB ? yAC 另：对空间中任意一点 O ，有 u u u r u u u r u u u r u u u r OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1) 4.P 、 A 、 B 、 C 四点共面充要条件： 练习 ： 如图， A 、 B 、 C 是三个不共线的点， O 是空间中任意 u u u r 1 u u u r u u u r u u u r 一点， M 是 AB 的中点 ， 若点 P 满足 OP ? ( OA ? OB ? OC ) ， 3 O （ 1 ）求证： P 、 A 、 B 、 C 四点共面； （ 2 ）求证： M 、 P 、、 C 三点共线 . u u u r 1 u u u r u u u r u u u r （ 1 ）证明： Q OP ? ( OA ? OB ? OC ) 3 A u u u r u u u r u u u r u u u r P ? 3 OP ? OA ? OB ? OC M u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r B 移项，得 OP ? OA ? ( OB ? OP ) ? ( OC ? OP ) u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ? AP ? PB ? PC ，即 PA ? ? PB ? PC C ? P 、 A 、 B 、 C 四点共面 （ 2 ）证明： ∵ 点 M 为 AB 的中点 u u u u r 1 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ? OM ? ( OA ? OB ) ，即 OA ? OB ? 2 OM 2 u u u r 1 u u u r u u u r u u u r 1 u u u u r u u u r Q OP ? ( OA ? OB ? OC ) ? (2 OM ? OC ) 3 3 u u u r u u u u r u u u r ? 3 OP ? 2 OM ? OC u u u r u u u u r u u u r u u u r A 移项，得 2( OP ? OM ) ? OC ? OP O C P B u u u r u u u r ? 2 MP ? PC M ? M 、 P 、 C 三点共线 二、基础知识讲解 1. 数量积的定义： r r r r 已知 非零向量 a 与 b ，我们把 数量 | a || b | cos ? 叫 r r r r 作 a 与 b 的 数量积 （或内积），记作 a ? b ，即 r r r r r 其中， ? 为 a 、 b 的夹角 , 也 可 记为 ? a ， b ? a ? b ? | a || b | cos ? r r r r r 我们规定 零向量与任一向量的数量积为零 ，即 0 ? a ? 0 注意： (1) 数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘”相区别； (2) 两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量，它的符号 由 co