线性规划大M法或两阶段法课件.ppt

1 第八节 单纯形法的进一步讨论 —— 人工变量 人工变量法 考虑 标准型 (M) ： 分别给每个约束方程 硬性加入 一个非负变量 a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + x n+1 = b 1 (≥0) a 12 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + x n+2 = b 2 (≥0) … … … … … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + x n+m = b m (≥0) n 个 x n+1 , x n+2 , … , x n+m 称为 人工变量 。 初始基本可行解： ( 人造基本解 ) X 0 = ( 0, 0, … , 0, b 1 , b 2 , …, b m ) T ( 2 . 1 ) 2 基本思想： 人造解 X 0 不是原 LP 问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量 x n + 1 = x n + 2 = … = x n + m = 0 ），则 X 0 的 前 n 个分量就构成原 LP 问题的一个基本可行解。 反之，若经过迭代，不能把人工变量都变 为非基变量，则表明原 LP 问题 无可行解 。 人工变量法 大 M 法或两阶段法 3 4 一、大 M 法 若迭代最终得到 最优解 X* ，而且 基变量 中 不含有人工变量 ，则 X* 的 前 n 个分量就构成原问题的一个 最优基本解 ；否则，原问题 无可行解 。 若迭代结果是 解无界 ，而且 基变量 中 不含有人工变量 ， 则原问题也 解无界 ；否则，原问题 无可行解 。 一、大 M 法 例： 用大 M 法解下列线性规划 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 2 10 2 4 3 4 2 3 max 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x Z 、 、 解：首先将数学模型化为标准形式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 , , 2 , 1 , 0 1 2 2 10 2 4 3 4 2 3 max 3 2 1 5 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 ? j x x x x x x x x x x x x x x x Z j 系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。 5 一、大 M 法 故人为添加两个单位向量，得到人工变量单 纯形法数学模型： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 , , 2 , 1 , 0 1 2 2 10 2 4 3 4 2 3 max 7 3 2 1 5 3 2 1 6 4 3 2 1 7 6 3 2 1 ? j x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x Z j － 其中： M 是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 6 一、大 M 法 c j 3 2 -1 0 0 -M -M C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 θ i -M x 6 4 -4 3 1 -1 0 1 0 4 0 x 5 10 1 -1 2 0 1 0 0 5 -M x 7 1 2 -2 1 0 0 0 1 1 3-2M 2+M - 1+2M↑ -M -M x 6 3 -6 5 0 -1 0 1 3/5 0 x 5 8 -3 3 0 0 1 0 8/3 -1 x 3 1 2 -2 1 0 0 0 —— 5-6M 5M↑ 0 -M 0 0 2 x 2 3/5 － 6/5 1 0 － 1/5 0 —— 0 x 5 31/5 3/5 0 0 3/5 1 31/3 -1 x 3 11/5 － 2/5 0 1 － 2/5 0 —— 5 ↑ 0 0 0 0 2 x 2 13 0 1 0 1 2 3 x 1 31/3 1 0 0 1 5/3 -1 x 3 19/3 0 0 1 0 2/3 0 0 0 -5 -25/3 → → j ? j ? → j ? j ? 7 一、大 M 法 例 用大 M 法求解下述 LP 问题 max z = 3 x 1 – x 2 – 2 x 3 3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 = 6 x 1 – 2 x 2