专题23 勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）.docx

专题23 勾股定理 【知识要点】 知识点一 直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质： 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式： 1）a2=c2- b2 2）b2=c2- a2 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 方法三：，，化简得证 知识点二 勾股数 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 【考查题型】 考查题型一 勾股定理理解三角形 典例1．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【提示】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5， ∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5， ∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C． 变式1-1．如图，在Rt△ACB中，，若，则的长为（ ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC. 【详解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC， ∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故选C. 变式1-2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【提示】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 变式1-3．某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为，其中R为圆锥底部圆的半径，为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案． 【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，∴圆锥母线长为：cm， 又∵，将R=5cm，cm代入， ∴， 故选：C． 考查题型二 勾股定理与网格问题 典例2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 变式2-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【提示】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， ∴， ∴， 故选：D． 变式2-2．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【提示】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格