经典§1.5、向量函数的积分.ppt

§1.5、向量函数的积分 1、体积分 设D是R3中的一个体积元V， 在V中定义的函数。 定义（体积分）：设 是V的一个分割， ，任取点 ，作和式： 当 时，若和式的极限存在，且与V的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在V上的积分，记做 在R3空间， 可以表示为： 则： 体积分的计算规则： (1) 设 为常向量， 为数量函数，则： (2) 设 为常向量， 为向量函数，则： (3) 设 为常向量， 为向量函数，则： 例1：设V是平面 和三个坐标平面x=0,y=0 z=0所围的区域，求 在V上的体积分。 解： 如图表示，则： 分别计算三个分量的积分，首先： 同理： 最后得： 2、曲面积分 设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面 ， 我们可以定义 沿 一侧的积分。 定义(曲面积分)：设 在空间曲面 上有定义， 为 的任意一个分割，记 ，任取点 ，作和式： 当 时，若和式的极限存在，且与 的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在 上的积分，记做 在R3空间， 可以表示为： 若 的法向量的单位向量为： 则： 所以： 例2：设 是平面 和三个坐标平面 所围的闭曲面，求 沿 的外侧的曲面 积分。 解： 如图表示， 是分别表示三角形 OAB,OBC,OCA所围平面， 代表ABC的 所围三角形，则： 对于 ，z=0，dz=0，则： 同理： 对于 ，则： 而： 所以： 同理： 最后得： 例3：设 是球面 ，求 沿球面外侧的积分。 解：对于球面来说，其任意点 的法向分量为 所以，沿球面外侧的积分为： 3、曲线积分 设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线 ， 我们可以定义 在曲线 上的积分。 定义(曲线积分)：设 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲 线，任取分段点 ，把 分成n个有向 线段，定义 ，记 ，任取点 ，作和 当 ，和式的极限存在且和曲线的划分与 的 选取无关，则称这个极限为 沿曲线 的曲线积分，记作 在R3空间， 可以表示为： 若 的法向量的单位向量为： 则： 所以： 例4：设 为平面 与三个坐标平面的交线所围的 闭曲线，曲线方向如图所示，求函数 沿曲线正向的积分。 解： 由 围成， 同理： 最后得： 对于 ，z=0，dz=0，则： 4、Gauss公式和Stokes公式 Gauss公式：设空间曲面 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部 区域记为 ，设函数 在 和 上连续，在 内具有一阶偏导数，则： Stokes公式：设空间曲面 是光滑的有界曲面，其边界l是一条 分段光滑的闭曲线，设函数 在 和l上连续，在 上具有一阶偏导数，则：