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学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 隐圆
专题 1 隐形圆问题
有关平面解析几何专题,无论是椭圆还是抛物线,我们已经归纳总结了多种秒杀方法,并在秒 1 和秒 2 中
已经对其进行破解。随着高考改革的深入,传统的椭圆和抛物线的题目难度开始下降,平面解析几何的考
察形式也开始变得多种多样,直线与圆的地位大幅度提升,甚至有“代替”圆锥曲线解答题的意思,带有文
化背景的题目也层出不穷,“向量圆” 、“阿波罗尼斯圆”等“隐形圆”问题也开始出现在各地市的模拟题中,
无论是平面向量小题还是平面解析几何大题,“隐形圆”的出现,都会给大家制造不少麻烦。本专题我们来
解密高考中的“隐形圆”问题。
第一讲 向量极化恒等式推出的隐圆
1.极化恒等式向量乘积型:PA PB
1 2
定理:平面内,若 A ,B 为定点,且PA PB ,则P 的轨迹是以M 为圆心 AB 为半径的圆
4
2 1 2 1 2
证明:由PA PB ,根据极化恒等式可知,PM AB ,所以PM AB ,P 的轨迹是以
4 4
1 2
M 为圆心 AB 为半径的圆.
4
【例1】 (2017 •江苏)在平面直角坐标系x Oy 中,A( 12 ,0) ,B (0 ,6) ,点P 在圆O:x 2 y 2 50 上,
若PA PB 20 ,则P 的横坐标范围是 .
【例2 】 (2017 •丹阳期中)已知A(2 ,3) , B (6 , 3) ,P 在3x 4y 3 0 上,若满足AP BP 2 0 的P
有2 个,则 的取值范围是 .
2. 极化恒等式和型:PA 2 PB 2 .
学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 隐圆
1 2
AB
定理:若 A,B 为定点,P 满足PA 2 PB 2 ,则P 的轨迹是以 AB 中点M 为圆心, 2 为半径的
2
1 2
圆. ( AB 0) .
2
1 2
AB
2 2 2 1 2 2
证明:PA PB 2 PM ( AB) ,所以PM ,即P 的轨迹是以AB
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