演示文档《数学归纳法》(好).ppt

多米诺骨牌游戏原理 （1）第一块骨牌倒下。 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 （1）当n=1时，猜想成立 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。 通项公式为 的证明方法 （2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当 n=k+1时猜想也成立，即 。 三、类比问题，师生合作探究 （一）类比归纳 .精品课件. * 当一个命题满足上述（1）、（2） 两个条件时，我们能把证明无限问题 用有限证明解决吗? （二）理解升华 .精品课件. * 一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1） 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0 ∈N* ) 时命题成立; （2） 【归纳递推】假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法。 （四）提炼概念 .精品课件. * 对于数列｛　｝，已知　　　，　　　　 写出数列前4项,并猜想其通项公式 ;同学们,你能验证 你的猜想是不是正确吗? 四、例题研讨，学生实践应用 （一）典例析剖 .精品课件. * （二）变式精炼 用数学归纳法证明 .精品课件. * 1＋3＋5＋‥＋（2n－1） ＝ 用数学归纳法证明 n2 　　即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何　　　都成立。 证明： 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 那么当n=k+1时 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 ＝ + [2(k+1)－1］ k2 ＝ ＋2k＋1 k2 ＝ （k+1）2 （假设） （利用假设） 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 证明传递性 （凑结论） .精品课件. * （三）能力提升 用数学归纳法证明 .精品课件. * 证明： （1）当n=1时， 左边=12=1 右边= 1 等式成立 (2)假设当n=k时等式成立,即 那么,当n=k+1时 即当n=k+1等式也成立 根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立. 凑出目标 用到归纳假设 .精品课件. * 数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证n=n0时命题成立。 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。 归纳奠基 归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可 .精品课件. * 思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 解:设n＝k时成立，即 这就是说，n＝k+1时也成立 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何n∈N*都成立 事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立 该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 .精品课件. * 证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ ②假设n=k时，等式成立， 那么n=k+1时 等式成立 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立 即 第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求 思考2：下面是某同学 用数学归纳法证明等式 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？ （n∈N＊） n n 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 - = ＋ ＋ ＋ ＋ L .精品课件. * 因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。 .精品课件. * .精品课件. * ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 .精品课件.