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一、相似三角形与圆的知识的综合
教材母题(教材P58第8题)
如图,CD是00的弦,AB是直径,且CD丄AB,垂足为P 求证:PC2=PA AB.
解:如图,连接AC,??? AB为OO的直径,??? ZACB = 90°,又VAB丄CD
AZAPC = ZCPB=90°,???ZCAP+ZACP=90°,ZBCP+ZACP=90°,二 PC PA
ZCAP=ZBCP,???△PCAs&BC,?:西=胚,???PC2=PA PB
【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为:把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的等积式或 比例式.特别地,当等积式中的线段的对应关系不容易看出时,也可以把等积式转化为比例式, 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
变式1.(2014-陕西)如图,OO的半径为4,B是。0外一点,连接OB,且OB=6,过点 B作(DO的切线BD 切点为D 延长BO交00于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为 C.
(1)求证:AD平分ZBAC; (2)求AC的长.
解:(1)证明:连接 OD, VBD 是0O 的切线,:.OD丄BD, VAC丄BD, AOD^AC, AZ2=Z3, VOA=OD, AZ1 = Z3, AZ1 = Z2,即 AD 平分 ZBAC
(2)解:?.?OD〃AC,???△BODs/XBAC,???器=器,??沽=令,解得:AC=^
变式2?如图,BD是00的直径,A,C是00上的两点,且AB=AC,AD与BC的延 长线交于点E.
(1)求证:△ABDs/^AEB; (2)若 AD=1,DE=3,求 BD 的长.
解:(1)证明:???AB=AC, /. AB=AC. A Z ABC = Z ADB,又 VZBAE=ZDAB, /.A ABD^AAEB
AB AD
(2)V AABD^A AEB,???疋=応,???AD=1, DE=3, AAE=4,二AB2 = AD?AE= 1 X4=4, ???AB=2, VBD 是 0O 的直径,A ZD AB = 90° ,在 RtAABD 中,BD2=AB2+ AD2 = 22+12 = 5, :.BD=y[5
二、相似三角形与四边形知识的综合
变式3.(201牛泰安)如图,在四边形ABCD中,AB = AD,AC与BD交于点E,ZADB = ZACB.
AB AC
AE = AD;
⑵若AB±AC,AE : EC=1 : 2,F是BC中点,求证:四边形ABFD是菱形.
解:(1)?.?AB=AD,?\ ZADB ABE,又 VZADB=ZACB, A ZABE= ZACB,又
?.?ZBAE=ZCAB, AAABE^AACB,
?.?ZBAE=ZCAB, AAABE^AACB,
? ab ac
?*AE=AB
又 TAB = AD,
? ab ac
?*AE = AD
(2)设 AE=x, VAE : EC=1 : 2, AEC=2x,由(1)得:AB2=AE?AC, AAB=V3x,又 VBA丄AC, ???BC=2羽x, A ZACB = 30° , TF 是 BC 中点,??.BF=V^x, ABF=AB = AD,又?.?ZADB=ZACB=ZABD, ???ZADB=ZCBD=30° , /.AD^BF, A 四边形 ABFD 是平行四边形,又???AD = AB,???四边形ABFD是菱形?
变式4.(2014-柳州)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线 段PD绕点P顺时针旋转90°后得到线段PE,且PE交BC于F连接DF过点E作EQ丄AB 的延长线于点Q.
⑴求线段PQ的长;
(2)问:点P在何处时,
⑴由题意得:PD=PE, ZDPE=90° ,???ZAPD+ZQPE=90° ,?.?四边形ABCD是 正方形,???ZA=90。,???ZADP+ZAPD=90° , A ZADP= ZQPE, TEQ丄AB, AZA = ZQ=90° ,又?.?PD = PE, ???△ADP竺△QPE(AAS), APQ=AD=1.
PB PD
(2)???APFDs&FP,??伽一pF,?些
(2)???APFDs&FP,??伽一pF,
?些-進?乞-空???PA=PB,??环=抽J
?ePF = BF, e*BF = BF,
2'
???当 PA=*时,△PFDsABFP.
变式5 .如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示 的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用,当截取的矩形面积最大时,求矩形两
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