中考备考资料-定角夹定高及详细解析.pdfVIP

定角夹定高（探照灯模型） 什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A ，A 到直线 BC 距离为定值 A （定高），∠BAC 为定角。则 AD 有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫 探照灯模型 我们可以先看一下下面这张动图，在三角形 ABC 当中，∠BAC 是一个定 O 角，过 A 点作 BC 边的高线，交 BC 边与 D 点，高 AD 为定值 从动态图中（如图定角定高 1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为 B D C 定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A 点的运动 而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD 是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一个最小值 我们可以先猜想一下，AD 过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC 的长是最小的，从而三 角形 ABC 的面积也是最小的 定角定高1.gsp 定角定高.html （定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理） 那么该如何证明呢？ 首先我们连接 OA,OB,OC 。过O 点作 OH ⊥BC 于 H 点. （如图1） 显然 OA+OH ≥ AD ，当且仅当A,O,D 三点共线时取“= ”。由于∠BAC 的大 小是一个定值，而且它是圆 o 的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB 的度数，也 是一个定值 因此 OH 和圆 O 的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH 也和 ⊙ 的半 径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH ≥ AD ，就可以求得圆O 半径的最小值 [简证：OA+OH ≥ AD OEDH 为矩形，OH=ED ，在Rt△AOE 中，AOAE ，∴AO+OH=AO+EDAE+ED=AD] 下面我们根据一道例题来说明它的应用 例：如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=CD=4 ，AD ∥BC ，∠B=60° ，点E 、F 分别为边 BC 、CD 上 的两个动点，且∠EAF=60° ，则△AEF 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说 明理由 A D 【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理. F 将△ADF 绕 A 点顺时针旋转 120°，得△ABF ′，则∠EAF ′ =60 °，易证△AEF ′≌△AEF ，作△AEF ′的外接圆⊙O ，作 3 B E C OH ⊥BC 于点 H ，AG ⊥BC 于点 G ，则∠F ′OH=60 °，AG= 2 = 2 3，设 ⊙O 的半径为r ，则OH= = . 2 2 4 3 A D ∵ OA + OH ≥ AG ， ∴ + ≥ 2 3， ∴ ≥ 2 3 1 F ∵∠FAE= ∠F’AE= ∠FOE=60° 2 O