2021届新高考数学艺考生百日冲刺专题35二项式定理（原卷版）.docxVIP

PAGE1 / NUMPAGES1 专题35 二项式定理 1. 二项式定理 公式：(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*) 这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Ceq \o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk． 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n)． 3. “杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和． (2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)． (3)增减性与最大值：二项式系数Ceq \o\al(k,n)，当k＜eq \f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大； 当k＞eq \f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大． (4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋…＝2n－1． 题型一、二项式定理展开式中的项的问题 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 变式1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 变式2、【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为 A． B．5 C． D．10 变式3、【2018年高考天津卷理数】在的展开式中，的系数为__________． 题型二、二项式展开式的各项系数和的问题 例2、【2019年高考江苏卷理数】设．已知． （1）求n的值； （2）设，其中，求的值． 变式1、【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________． 变式2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）在二项式的展开式中，所有项系数和为____________，展开式中含的项是____________. 变式3、（2020届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式4、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知，则_____，_______. 题型三、二项式展开式的综合运用 例3　(1)1－90Ceq \o\al(1,10)＋902Ceq \o\al(2,10)－903Ceq \o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq \o\al(k,10)＋…＋9010Ceq \o\al(10,10)除以88的余数是____． (2)设复数x＝eq \f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq \o\al(1,2019)x＋Ceq \o\al(2,2019)x2＋Ceq \o\al(3,2019)x3＋…＋Ceq \o\al(2019,2019)x2019＝____． 变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知，．记． （1）求的值； （2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除． 变式2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 2、【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 3、【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________． 4、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学