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2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A1
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装 订 线
一、选择题(5分×5)
1设 均为阶矩阵,下面结论正确的是:( )
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
2 已知向量组线性无关,则向量组 ( ).
(A)线性无关;
(B)线性无关;
(C)线性无关;
(D)线性无关.
3设是秩为2的矩阵,已知非齐次线性方程组有解,则解集中线性无关的解向量个数为( ).
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D)5.
4设,则在实数域上与合同的矩阵是( ).
; ; ; .
5 设是满足的任意两个非零矩阵,则( ).
(A)的列向量组线性相关,的行向量组必线性相关;
(B)的列向量组线性相关,的列向量组必线性相关;
(C)的行向量组线性相关,的行向量组必线性相关;
(D)的行向量组线性相关,的列向量组必线性相关.
二、填空(5分×5)
6 均为4维列向量,已知,,并且,,则
7设均为2阶矩阵,分别是的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为_______.
8若,和线性相关,则
9判断二次型是否正定______.
10 已知平面上三条不同直线的方程分别为
这三条直线交于一点的充要条件是______.
三、解答与证明题 (10分×5)
11 求,其中.(提示:加边法)
12已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足.
(1)记,求3阶矩阵使得.
(2)计算行列式.
13设非零向量组中任一向量不是它前面的个向量的线性组合.证明:向量组的秩为.
14设实对称矩阵正定,为实矩阵,试证明为正定矩阵的充要条件是.
15 证明:如果,,则.
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A1答案
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装 订 线
总分:100分 闭卷
一、选择题(5分×5)
1设 均为阶矩阵,下面结论正确的是:(B)
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
若可逆,则可逆
2 已知向量组线性无关,则向量组 ( C ).
(A)线性无关;
(B)线性无关;
(C)线性无关;
(D)线性无关.
3设是秩为2的矩阵,已知非齐次线性方程组有解,则解集中线性无关的解向量个数为( ).
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D)5.
【解】的解空间的维数为3,设是的基础解系,是的特解,则是的解空间的维数.事实上,若设,用左乘之,得到.既然, ,所以.得到.另一方面,若是的任意解,则是的解,
.
4设,则在实数域上与合同的矩阵是( D ).
; ;
; .
5 设是满足的任意两个非零矩阵,则( A ).
(A)的列向量组线性相关,的行向量组必线性相关;
(B)的列向量组线性相关,的列向量组必线性相关;
(C)的行向量组线性相关,的行向量组必线性相关;
(D)的行向量组线性相关,的列向量组必线性相关.
二、填空(5分×5)
6 均为4维列向量,已知,,并且,,则 32
7设均为2阶矩阵,分别是的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为
8若,和线性相关,则
【解】本题比较简单,容易求解.需要掌握线性相关与线性方程组以及矩阵秩(行列式)的关系.
线性相关有非零解. 所以.
9判断二次型是否正定_______.
【解】所对应的矩阵为,它的顺序主子式
所以 正定.
10 已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证明这三条直线交于一点的充要条件是.
三、解答与证明题
11 求,其中.
【解】
12已知3阶矩阵与三维向量
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