2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷B（含答案）.doc

院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________―――――――装―――――――订―――――――线――― 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________ ―――――――装―――――――订―――――――线――――――――― 适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空（共50分，每小题5分） 1、设矩阵A=-2002x 2、已知α=11-1是矩阵A=2-125a 3、t满足________时，二次型f=x 4、向量空间Pn的子空间W={( 5、在p3中，σ(x1,x 6.n元实二次型f(x1 7.对于线性空间V中向量α1,α2,?,αr(r≥1),若在数域P中有 8.相似矩阵的特征值__________. 9.向量α=(1,2,3,4),β=(4,2,3,1),则内积(α,β)= ___________. 10.若A是实对称矩阵,则 A的特征值为____________. 二、（15分）用非退化线性替换化二次型2x 三、（10分）设A是n级实对称矩阵，证明： A正定的充分必要条件是A的特征多项式的根全大于零。 四、（15分）求由向量αi生成的子空间与由向量βi生成的子空间的交的基和维数，已知 五、（10分）设ε1,ε2,ε 1）求σ的特征值与特征向量； 2）求一可逆矩阵T，使T-  院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________―――――――装―――――――订―――――――线―――――――――20 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________ ―――――――装―――――――订―――――――线――――――――― 适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空（共25分，每小题5分） 1、设矩阵与相似，则。 2、已知是矩阵的一个特征向量，则特征向量对应的特征值。 3、满足__时，二次型是正定的。 4、向量空间的子空间的维数为________，它的一组基为 5、在中，则在基下的矩阵为_________________。 二、填空题（共25分，每小题5分） 1.元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________. 2.对于线性空间V中向量,若在数域P中有个不全为零的数,使,则向量称为_线性相关________. 3.相似矩阵的特征值____相同______. 4.向量,则内积___21________. 5.若A是实对称矩阵,则 A的特征值为___实数_________. 三、（15分）用非退化线性替换化二次型为标准型。 解：二次型的矩阵为A= 所以矩阵A的特征值为1，2，5 =1，矩阵A对应的特征向量为，单位化 =2，矩阵A对应的特征向量为 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________―――――――装―――――――订―――――――线――――――――― 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________ ―――――――装―――――――订―――――――线――――――――― 令Q=，则Y=QX为正交变换，可将原二次型化为标准型 四、（10分）设是级实对称矩阵，证明： 正定的充分必要条件是的特征多项式的根全大于零。 证明：经过非退化线性替换化为，则正定的充分必要条件是全大于零，而是的特征多项式的根，故正定的充分必要条件是的特征多项式的根全大于零 五、（15分）求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基和维数，已知。 解：；， ；的基为，维数为1。 六、（10分）设是四维线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为 1）求的特征值与特征向量； 2）求一可逆矩阵，使成对角形 解：1） ; ; ;; ---------------------10分 2）---------------------10分