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高考大题专攻练
9、解析几何 (A 组 )
大题集训练 , 练就慧眼和规范 , 占领高考制胜点 !
1、椭圆 + =1(a>b>0) 左右焦点分别为 F1,F 2, 且离心率为 , 点 P 为椭圆上一动点 , △F1PF2 面积最大值为 、
求椭圆方程、
设椭圆左顶点为 A1, 过右焦点 F2 直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点 , 连结
A1A,A1B 并延长分别交直线
x=4
于
P,Q
两点 ,
问
·
是否为定值
?若
是, 求出此定值 ; 若不是 , 请说明理由、
【解析】 (1) 已知椭圆离心率为 , 不妨设 c=t,a=2t,
又△ F1PF2 面积取最大值 时, 即点 P 为短轴端点 ,
解得 t=1, 则椭圆方程为 + =1、
即 b= t, 其中 t>0,
因此 ·2t · t= ,
(2) 设直线 AB方程为 x=ty+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 联立
可得 (3t
2+4)y 2+6ty-9=0,
则
y1+y2=
,y
1y2=
,
直线 AA1 方程为
y=
[x-(-2)],
直线
BA1 方程为
y=
[x-(-2)],
则
P
,Q
,
则
=
,
=
,
则 · =9+
= +9=0,
即 · 为定值 0、
2、已知点 P 在椭圆 C: + =1(a>b>0) 上, 以 P 为圆心圆与 x 轴相切于椭
圆右焦点 F2 , 且 · =2,tan ∠OPF2= , 其中 O为坐标原点、
求椭圆 C方程、
已知点 M(-1,0), 设 Q 是椭圆 C上一点 , 过 Q,M两点直线 l 交 y 轴于点
N,若 =2 , 求直线 l 方程、
作直线 l1 与椭圆 D: + =1交于不同两点 S,T, 其中 S点坐标为 (-2,0),
若点 G(0,t) 是线段 ST垂直平分线上一点 , 且满足 · =4, 求实数 t 值、
【解析】 (1) 由题意知 , 在△ OPF2中,PF2⊥OF2,
又因为
tan ∠OPF2=
,
所以
c=
,r=1,
则点
P坐标为 (
, ±1) 、因为点
P 在椭圆
+ =1上,
所
以有
+
=1, 又因为
a2-b 2=c2=2、所以
a2=4,b 2=2, 即椭圆
C方程
为: + =1、
由题意知椭圆 C方程为 : + =1、依题意知直线 l 斜率存在 , 设为 m,故
直线方程为 y=m(x+1),N(0,m),
设 Q(x1,y 1), 因为
=2 ,所以
(x ,y
-m)=2(-1-x
1
,-y
1
), 解得 x
=- ,y
= , 又 Q是椭圆 C上一点 ,
1
1
1
1
则+ =1、解得 m=±4, 所以直线 l 方程为 4x-y+4=0 或 4x+y+4=0、
(3) 依题意知
D:
+y2=1、由
S(-2,0),
设
T(x 2,y
2),
根据题意可知直线
l1 斜
率存在 , 可设直线斜率为
k,
则直线
l1 方程为
y=k(x+2),
把它代入椭圆
D方
程, 消去 y, 整理得 (1+4k 2)x 2+16k2x+(16k 2-4)=0,1+4k 2≠0,
=(16k 2) 2-4(1+4k 2)(16k 2-4)=16>0 、由根与系数关系得
-2+x 2=-, 则
x =
,y =k(x
2
+2)=
, 所以线段 ST中点坐标为
、
2
2
①当 k=0 时, 则有 T(2,0),
线段 ST垂直平分线为 y 轴 , 于是
=(-2,-t),
=(2,-t),
由
·
=-4+t 2=4,
解得 :t= ±2
、
②当 k≠0 时, 则线段 ST垂直平分线为 :y-
=-
, 因为点
G(0,t)
是线段 ST垂直平分线上一点 , 令 x=0 得:t=-
, 于是
=(-2,-t),
=(x 2 ,y 2-t),
由 ·
=-2x 2-t(y 2-t)=
=4,
解得 :k= ±
, 代入 t=-
, 解得 :t= ±
,
综上可知 , 满足条件实数 t 值为± 2
或±
、
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